韧带型声子晶体狄拉克锥特性研究

陈炉云 王 健，崔益烽，孔 慧

(1.上海交通大学 海洋工程国家重点实验室,上海 200240；2.上海交通大学 海洋智能装备与系统教育部重点实验室，上海 200240;3.陆军装备部驻南京地区军事代表局驻上海地区第二军事代表室，上海 200082)

随着科技发展，声学超材料在结构的减振降噪方面得到广泛应用[1-2].与传统材料相比，通过微结构功能胞元设计，声学超材料具有负等效质量密度、负等效体积模量和负剪切模量等特性[3-4].声子晶体中周期性排列的宏观介质材料会对声波产生散射，令其形成具有周期性的能带结构[5-6].各能带之间的缝隙称为声子带隙，影响带隙参数的因素包括结构参数、材料参数、多相材料和界面参数等.改变声子晶体的设计参数可以实现对带隙结构的调整和操控，提高声子晶体减振降噪的效果[7-10].在某些声子晶体的简约布里渊区边界上，存在两条或多条能带线性地相交于一点的频散现象，此交点称为狄拉克点[11-12].在狄拉克点处将出现赝扩散传输、边缘态、震颤和声拓扑绝缘体等物理现象[13-14].

声子晶体的胞元形式多样，其中手性韧带型声子晶体结构具有典型的负泊松比特性，因此其能带结构具有一定的特殊性[15-16].目前，韧带型蜂窝结构的研究成果多集中在因其负泊松比而导致的抗冲击、减振等特性中[17-20].同时，因手性特性，手性韧带型声子晶体不具有C6晶体完美的对称性，这对声子晶体的声传输、声拓扑等问题有重要影响[21-22].而针对手性韧带型声子晶体声拓扑问题的研究较少，对于声子晶体频散中出现的狄拉克锥问题的研究还处于探索阶段[23-26].因此，开展手性六韧带型声子晶体的带隙特性、拓扑绝缘体特性的研究可以为声隐形、完美透镜和单向传输等物理现象提供技术支撑.

本文提出一种基于二维手性六韧带蜂窝晶格型声子晶体，通过分析其能带结构和狄拉克频散特性，获得声子晶体的四重偶然简并狄拉克点.通过调整声子晶体散射体结构参数，打破四重偶然简并并获得新的方向带隙，并对能带反转特性进行分析.研究成果可以为新型声学超构材料的设计和工程应用提供技术支持.

1 二维声子晶体基本理论

1.1 Bloch 定理

声子晶体是由相同晶胞单元在空间内无限周期性延拓而成，其周期结构的最小周期尺度为晶格常数.声子晶体的结构周期性由组成声子晶体的介质材料的弹性常数及其密度的周期性体现，即

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声子晶体结构的空间周期性和平移对称性，使其本征场和本征频率也具有对称性.弹性波在声子晶体中的传播符合Bloch定理，其位移场满足如下周期形式：

u(r)=eikruk(r)

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式中：u(r)为与声子晶体具有相同周期性的矢量函数；eikr为相位因子；k为波矢，其仅在第一布里渊区内取值，表示当平移r时波函数只增加一个eikr.

1.2 声子晶体能带结构

利用波矢扫掠声子晶体不可约布里渊区可以得到能带结构.以波矢为横坐标，以本征值或与其相应的量(如频率)为纵坐标作图，可以得到声子晶体能带结构或频散关系.在某些频率范围内，声子晶体能带结构中不存在任何本征模式且不支持任何形式的弹性波的传播.声子晶体带隙的实质是弹性波能量随传播距离的增加而迅速呈指数衰减.带隙宽度、对弹性波传播的衰减能力等是评估声子晶体材料物理特性的重要指标.

在声子晶体能带结构中，在确定频率范围内包括q条能带和j条带隙.设在第n条能带和第n+1条能带之间存在带隙，且该带隙对应的下边界能带的最大频率值和上边界能带的最小频率值分别为max(ωn(k))和min(ωn+1(k))，并满足min(ωn+1(k))>max(ωn(k)).该带隙宽度和中心频率分别为

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通过调整声子晶体的设计参数和材料组分，可以增大或减小Δωn.

2 六韧带手性蜂窝材料

六韧带手性蜂窝材料的胞元为正六边形晶格结构，单个胞元包括圆柱节点环以及与其相切连接的6条韧带，每条韧带又循环连接另一个节点环并与之相切.圆柱节点环的内部可以填充与韧带不同的组分材料，其具有明显的负泊松比特性.

图1 六韧带手性声子晶体及其布里渊区Fig.1 Diagrams of hexachiral phononic crystal and irreducible Brillouin area

用晶格矢ei定义声子晶体结构的空间周期性.二维声子晶体的位置可以根据晶格矢的线性组合n1e1+n2e2确定，则

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3 数值计算

3.1 模型概述

以二维三组元六韧带手性声子晶体为例，进行固-液型声子晶体能带结构的数值计算.在COMSOL Multiphysics 5.4有限元软件平台上，依次通过确定晶格常数，实施几何建模，进行有限元划分，选择声学材料，定义周期性边界条件和选取物理场后，对特征频率进行路径扫描，可以获得声子晶体的能带结构.

声子晶体由圆柱体、韧带散射体和基体组成，且a=8 mm.声子晶体韧带和钢柱体的外包覆物材料均为环氧树脂，圆柱体材料为钢，基体材料为水.图2为二维六韧带手性声子晶体胞元的外形及其网格模型.各材料力学参数包括:水密度为 1 000 kg/m3,声速为1 480 m/s；环氧树脂密度为 1 300 kg/m3,声速为 2 830 m/s；钢密度为 7 850 kg/m3,声速为 5 760 m/s.

图2 二维声子晶体模型和网格分布Fig.2 Finite element model and grid distribution of 2D phononic crystal

3.2 声子晶体带隙结构计算

确定声子晶体结构参数后，在布里渊区对声子晶体特征频率进行参数化扫描可以计算声子晶体的能带结构，扫描路径为K→Γ→M→K.在数值计算中，对前8条能带进行分析.

调整声子晶体散射体结构参数r0、tc和tl，可以得到具有四重偶然简并态的双狄拉克锥，并将其作为初模型.初模型声子晶体参数：r0=1.31 mm，tc=0.35 mm，tl=0.45 mm.

图3(a)为具有四重偶然简并双狄拉克锥手性蜂窝晶格声子晶体的频散关系.声子晶体的第3条至第6条能带在频率f=218 795.6 Hz 处出现闭合，形成四重偶然简并狄拉克点(点D)，在布里渊区中心表现出双狄拉克锥特征.图3(b)为狄拉克点附近能带结构放大图.在四重简并点附近，频散关系呈线性，4条能带近似合并为2条线性能带.

图3 初模型声子晶体带隙曲线图Fig.3 Band gap diagrams of phononic crystal for initial model

在第1条和第2条能带之间以及第6条和第7条能带之间分别存在1条完全带隙，带隙频率参数如表1所示.

表1 声子晶体带隙频率Tab.1 Frequency of phononic crystal of band gaps Hz

3.3 四重偶然简并态的打开

针对图3所示的双狄拉克锥问题，将tl定义为设计变量，分析韧带厚度参数对能带结构带隙变化的影响.以初模型的设计参数为基础，固定声子晶体晶格常数不变，增大或减小韧带厚度.数值计算表明，通过调整胞元韧带厚度可以打开双狄拉克锥.

设模型A和B的韧带厚度分别为tlA=0.4 mm和tlB=0.5 mm.分别计算模型A和B两种声子晶体的能带结构，如图4所示.其中，EAL、EAU和EBL、EBU分别为模型A和B的二重简并点.

图4 模型A和B声子晶体带隙曲线图Fig.4 Band gap diagrams of phononic crystal for models A and B

由图4可知，增大或减小韧带厚度，能带结构中的四重简并态消失.同时，随着四重简并态的打开，第1条和第2条带隙的带隙宽度以及带隙中心频率均发生变化(见表1).在布里渊区中心，四重简并态的双狄拉克锥打开为2条二重简并能态，并形成1条方向带隙.

在模型A和B中，打开的方向带隙宽度(fv)分别为 1 557.0 Hz 和 1 636.8 Hz.取tl∈[0.35 mm,0.55 mm]，步长 Δtl=0.01 mm.对比韧带厚度与方向带隙宽度的关系，如图5所示.

图5 韧带厚度与方向带隙宽度关系图Fig.5 t1 versus fv

由图5可知，在tl=0.45 mm处，由于出现双狄拉克锥，所以fv=0；随着韧带厚度的增大或减小，fv近似呈线性变化，且韧带厚度的增大对fv的变化更为敏感.

4 能带反转

声子晶体设计参数的调整会破坏初模型声子晶体中的四重偶然简并特性.模型A和B声子晶体在布里渊区中心处的2个双重简并态的声压场分布如图6所示，图中数据为正、负声压相对值.

图中，在布里渊区中心出现两种类似于电子p和d轨道的双重简并态，且均具有一对偶极模式和一对四极模式.在模型A中，p态位于低频带而d态位于高频带；在模型B中，p态位于高频带而d态位于低频带.可知，从模型A到B，声子晶体的韧带厚度增加并超过初模型的参数值，实现了模型A与B声子晶体之间的能带反转，使声子晶体从拓扑平庸相转变为拓扑非平庸相.结合图3～5可知，初模型的韧带厚度值为一个突变点，即能带反转的临界点.这表明，狄拉克点所对应的结构设计参数对研究声子晶体能带特性具有重要意义.此外，由于六韧带声子晶体不具有完全的镜像对称性以及C6晶体对称性，所以图6中的偶极模式(px和py)和四极模式(dxy和dx2-y2)不再关于x轴和y轴完美对称.

图6 声子晶体在布里渊区中心的本征模式声压场分布Fig.6 Distributions of pressure field for eigenmodes in the center of Brillouin zone

5 结语

以六韧带手性蜂窝晶格声子晶体为研究对象，建立求解声子晶体能带结构的数学模型.通过有限元方法计算二维声子晶体的带隙，获得蜂窝晶格声子晶体的四重偶然简并狄拉克点.固定蜂窝晶格声子晶体的晶格常数不变，调节晶体胞元的结构参数实现狄拉克点的打开并产生能带反转，验证设计参数对手性韧带声子晶体声拓扑相变的影响规律.研究成果为韧带型声子晶体在低频减振降噪中的应用提供理论依据.