让数学思维插上“想象”之翼

江苏省南京市建邺实验小学分校 魏 婵

一、案例描述

1.想象从“点”开始

师：今天这节课，我们先暂别“计算海洋”，我们一起走进“图形王国”。首先，接待我们的是谁呢？（点）可别小瞧了我们的“点”朋友，虽然它没有大小，但是本领可大了，一切的故事都是因它而开始。来，让我们想象一下，当这个点向着一个方向运动的时候就形成了—（一条线）

师（引导学生做手势）：现在它停止了运动，你看见了什么？

生（齐）：线段。

师：对，这就是我们二年级就已经认识的线段，你能说说它有什么特点吗？

生：线段是直直的，有两个端点。

（教师顺势板书：直的 两个端点）

师：我们能不能测量出这条线段的长度呢？能的话，从哪里量到哪里呢？

生（比画）：从这个端点开始到这个端点结束。

师：任何一条线段都可以测量出它的长度，“能测量出长度”在数学中可以称为“有限长”。这也是线段的特点之一。（板书：有限长）

实际上，学生早在二年级就已经认识了线段，但是这里并没有直接出示一条线段让学生回顾线段的特征，而是设计了本节课的第一次想象，引导由一个“点”的运动，去想象线段的形成过程，“点动成线”的画面在学生的脑海中生动地呈现出来了。第一次想象活动给后续展现射线的形成过程做铺垫，初步在学生脑海中建立起动态的图形形成过程。此外，这里也凸显了“端点”的作用，注重从一个点开始，到一个点结束，这两个端点使得线段的长度是有限的。

2.想象从“无人机飞走”放飞

师：今年是中华人民共和国成立70周年，经过70年的发展，人们的生活越来越好，城市发展越来越繁华，白天热闹非凡，夜晚美轮美奂，我们一起来瞧一瞧城市美丽的夜景！(播放灯光夜景动画，大图缩小定格在同一张PPT)正是有了这些光线的装扮，城市的夜空才如此的绚丽多彩！

师：这里正好有一条光线射到了夜空中的无人机上。请看，在无人机上正好有一个光点。

师：从发射点到光点之间的这条光线可以看成是一条（线段），你能指一指两个端点各在哪里吗？

（生指认）

师：无人机飞走了。

师：这时还能看到光点吗？闭上眼睛，随着老师的语言，尽情地想象。如果这个探照灯有无限的能量，发出的光线也没有任何物体阻挡，这条光线会射向哪里？

生：天空、月球、太阳系、宇宙……

师：是的，会一直不停地射向无穷远的地方，这会是怎样的光线呢？睁开眼睛。

师：你认为这条光线还可以用线段表示吗？

生：不能，如果射下去就没有端点了，无限长了，不符合线段的特征。

师：这美丽的灯光，沿着直的线往前，向无限的天空射去，没有另一个端点，这样射出的光线都可以看作是射线。（板书：射线）

在这次教学的设计中，通过设计情景，助力学生进行大胆想象。从光线照射到飞机上出现一个光点，此时，形成的还是线段。“无人机飞走了”就是一次促使学生突破认知的“转折点”，在教师适时的语言引导下，学生大胆进行想象，这样的想象活动生动有趣，让学生对“无限长”的认知顺其自然。

3.让“想象”现于纸上

师：射线是怎样的图形呢？我们可以联系射出的光线想（边动画演示边说明），从一点沿着直的线射出，另一端没有端点，无限长。

师（结合PPT演示）：像这样，把线段的一端无限延长，（停顿）就得到了一条射线。

师：射线的长度有办法度量吗？（没有）为什么？（射线是无限长的）是的，那么在这张有限长的练习纸上怎样画出无限长的射线呢？（学生尝试画，教师选取几幅有代表性的作品并编上序号）

生1：我用直尺一直画到纸边，表示可以一直画下去。

生2：我在后面用省略号表示无限长。

生3：只要画出一个端点和线的一部分就可以了，后面没有端点表示无限长。

师：同学们的创造都有道理，尽管方法不同，但都表示无限长。数学家的方法和这名同学（指生3）的一样，只画出一个端点和线的一部分就可以表示一条射线了。（师示范画射线）

师：画出来的长度是有限的，实际表示的却是无限的，这也正是数学的魅力所在。

师：现在谁来完整地说一说射线有什么特点？

生：直的、一个端点、无限长。（跟着板书念）

师：你一下子就说出了射线的三个特点，太棒了！

师（出示不同方向的射线）：老师现在变换一下，这些是射线吗？（是）为什么这些都是射线呢？

生：因为它们都是有一个端点，是直的，无限长的。

师：想一想，你在生活中还看到过哪些射线？

师（出示图片）：是的，射线非常常见。老师也找了一些射线，我们一起来瞧瞧—汽车的车灯发出的光线、手电筒射出的光线、阳光。

教师一句“射线是怎样的图形呢”，引导学生关注射线本质特征，思考如何抽象表达图形。“那么在这张有限长的练习纸上怎样画出无限长的射线呢”，引导学生进行第三次想象，但相较于第二次的想象，这次的想象“有限制”了，学生要充分调动自己对射线形成的认知，并发挥创造力，对自己脑海中想象出的“无限长”进行抽象表达。

4.让“想象”再飞一会儿

师：一个端点去掉，表示一端可以无限延伸。如果现在把两个端点都去掉，又会怎么样呢？（两端无限延伸）你能用手臂比画一下吗？

师：像这样的线叫作—直线。

师：你能在练习纸上画上一条直线吗？

（生在练习纸上画直线，教师巡视）

师：直线又有什么特点呢？

（师根据学生回答板书：直的 没有端点 无限长）

师：真厉害，同学们一下子就把直线的三个特点都准确地说出来了。

师：我们从一个点开始，认识了射线和直线。

师：线段、射线和直线有什么相同点和不同点呢？

生：相同点是它们都是直的。不同点是端点的数量不同，线段有两个端点，射线有1个端点，直线没有端点。线段是有限长的，射线和直线是无限长的。

学生在前面的想象活动中感受射线“无限长”的特点，在认识直线时，教师引导学生继续想象如果另一个端点也去掉，会形成什么样的图形。这两次想象活动的设计加强了知识点之间的联系，让学生自然而然地认识到直线的特点，从而在比较直线、射线和线段的异同时，思路更加清晰。

二、案例反思

在认识射线、直线的过程中，学生出现的学习难点是对“无限长”的理解，学生要从原来对“有限长”的线段向“无限长”的空间观念进行扩展。在教学过程中，教师抓住“点动成线”这一本质，通过一次次“想象”活动使得知识点“动起来”，在学生脑海中形成清晰的认知，突破学生的认知误区，将学生出现的认知冲突变成课堂上的生成性资源，成为学生学习新知识的动力。

1.想象活动找准起点，突出“一个点”

课堂导入的部分，教师首先呈现“一个点”，让学生的注意力集中到这个点的运动上，这样的教学起点，让学生找准了想象的方向，正因为点的运动才会出现线。突出“一个点”的运动，也有助于学生对图形本质特征的深刻理解，而且使后续的想象活动变得更加自然了。

2.创设有想象空间的情境，注重“空间观念”

教师巧妙地创设“无人机飞走”的教学情境，给予学生充分的想象空间。在教学过程中，教师发现有的学生虽然不能表达出“无限长”这样的概念，但是用“会一直射向天空”“射向宇宙”这样的表达来形容自己想象出的画面，这样的想象过程，正是学生“空间观念”在不断提升的表现。

3.抽象想象内容，回归“知识本质”

想象活动要想能够真正促成知识点的生成，还需要教师的进一步引导，让学生尝试用自己的方式画射线。正是这次抽象想象内容的过程，促进学生思考、总结射线的特征，从而进一步寻求一种方式来表达“一个端点”“无限长”，在表达的过程中，学生逐步抽象出概念，为后续学习打下扎实的基础。