梳理归纳，易错题不再错

文 何 乐

因式分解是初中数学学习的重要内容之一，是同学们后续学习一元二次方程以及二次函数的重要基础，是解决许多数学问题的重要工具。多项式因式分解有如下特点：（1）分解的结果一定是积的形式；（2）每个因式必须是整式；（3）各因式要分解到不能分解为止。因式分解与整式乘法是两种互逆变形，容易混淆，发生错误。

一、概念理解错误

例1观察下列从左到右的变形：

（1）-6a3b3=（2a2b）（-3ab2）；

（2）ma-mb+c=m（a-b）+c；

（3）6x2+12xy+6y2=6（x+y）2；

（4）（3a+2b）（3a-2b）=9a2-4b2；

其中是因式分解的有________（填序号）。

【错解】（1）（3）。

【错因分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解。（1）中-6a3b3不是多项式，不能进行因式分解。

【正解】（3）。

例2因式分解：4a2-4a+1。

【错解】4a2-4a+1=4a（a-1）+1。

【错因分析】从错解的结构来看，虽然第一项是积的形式，但整体上还是和的形式。错解曲解了因式分解的概念，误认为只要结果中有整式的积即可，忽视了分解的结果一定是积的形式这一要素。

【正解】4a2-4a+1=（2a-1）2。

二、提公因式错误

例3因式分解：-xy2+2xy-x。

【错解】-xy2+2xy-x=-x（y2-2y）。

【错因分析】多项式有公因式时，先提取公因式，然后再运用其他方法分解。本题中多项式的项数是三项，那么提取公因式后，项数仍应该为三项。

【正解】-xy2+2xy-x

=-x（y2-2y+1）=-x（y-1）2。

三、符号运算错误

例4因式分解：2a（a-2b）+4b（2b-a）。

【错解】2a（a-2b）+4b（2b-a）=（2a+4b）（a-2b）=2（a+2b）（a-2b）。

【错因分析】找公因式时，将（2b-a）转化为相反数（a-2b）时符号出错，当一个数用相反数表示时要添加负号。

【正解】2a（a-2b）+4b（2b-a）=（2a-4b）（a-2b）=2（a-2b）（a-2b）=2（a-2b）2。

四、乘法运算与因式分解混淆

例5因式分解：4a2-36。

【错解】4a2-36=4（a2-9）=4（a+3）（a-3）=4（a2-9）。

【错因分析】错解的最后一步与因式分解背道而驰，是整式乘法运算。这种走“回头路”的错误现象很常见，其原因是分不清整式乘法运算与因式分解的概念，对分解到不能再分解为止的目标不够明确。

【正解】4a2-36=4（a2-9）=4（a+3）（a-3）。

五、分解不彻底

例6因式分解：（x2+4）2-16x2。

【错解】（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2+4-4x）。

【错因分析】因式分解不彻底。结果中的两个因式都是完全平方式，还可以继续分解。

【正解】（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2。

六、分组分解错误

例7因式分解：x2-y2+1-2x。

【错解】x2-y2+1-2x=（x+y）（x-y）+1-2x。

【错因分析】从因式分解的定义看，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解。但错解的结果仍然是和的形式，我们应该先观察多项式的特征，先合并局部分解，再对整体分解。

【正解】x2-y2+1-2x=x2-2x+1-y2=（x-1）2-y2=（x+y-1）（x-y-1）。

因式分解问题应首先考虑能否提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑。没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法：两项则考虑是否可用平方差公式；三项则考虑是否可用完全平方公式；三项以上则应考虑使用分组分解法。最后再从因式分解的三个特点逐一检查。