APP下载

梳理归纳,易错题不再错

2021-12-03

初中生世界 2021年17期
关键词:项数因式公因式

文 何 乐

因式分解是初中数学学习的重要内容之一,是同学们后续学习一元二次方程以及二次函数的重要基础,是解决许多数学问题的重要工具。多项式因式分解有如下特点:(1)分解的结果一定是积的形式;(2)每个因式必须是整式;(3)各因式要分解到不能分解为止。因式分解与整式乘法是两种互逆变形,容易混淆,发生错误。

一、概念理解错误

例1观察下列从左到右的变形:

(1)-6a3b3=(2a2b)(-3ab2);

(2)ma-mb+c=m(a-b)+c;

(3)6x2+12xy+6y2=6(x+y)2;

(4)(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2;

其中是因式分解的有________(填序号)。

【错解】(1)(3)。

【错因分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫作多项式的因式分解。(1)中-6a3b3不是多项式,不能进行因式分解。

【正解】(3)。

例2因式分解:4a2-4a+1。

【错解】4a2-4a+1=4a(a-1)+1。

【错因分析】从错解的结构来看,虽然第一项是积的形式,但整体上还是和的形式。错解曲解了因式分解的概念,误认为只要结果中有整式的积即可,忽视了分解的结果一定是积的形式这一要素。

【正解】4a2-4a+1=(2a-1)2。

二、提公因式错误

例3因式分解:-xy2+2xy-x。

【错解】-xy2+2xy-x=-x(y2-2y)。

【错因分析】多项式有公因式时,先提取公因式,然后再运用其他方法分解。本题中多项式的项数是三项,那么提取公因式后,项数仍应该为三项。

【正解】-xy2+2xy-x

=-x(y2-2y+1)=-x(y-1)2。

三、符号运算错误

例4因式分解:2a(a-2b)+4b(2b-a)。

【错解】2a(a-2b)+4b(2b-a)=(2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)。

【错因分析】找公因式时,将(2b-a)转化为相反数(a-2b)时符号出错,当一个数用相反数表示时要添加负号。

【正解】2a(a-2b)+4b(2b-a)=(2a-4b)(a-2b)=2(a-2b)(a-2b)=2(a-2b)2。

四、乘法运算与因式分解混淆

例5因式分解:4a2-36。

【错解】4a2-36=4(a2-9)=4(a+3)(a-3)=4(a2-9)。

【错因分析】错解的最后一步与因式分解背道而驰,是整式乘法运算。这种走“回头路”的错误现象很常见,其原因是分不清整式乘法运算与因式分解的概念,对分解到不能再分解为止的目标不够明确。

【正解】4a2-36=4(a2-9)=4(a+3)(a-3)。

五、分解不彻底

例6因式分解:(x2+4)2-16x2。

【错解】(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)。

【错因分析】因式分解不彻底。结果中的两个因式都是完全平方式,还可以继续分解。

【正解】(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x-2)2(x+2)2。

六、分组分解错误

例7因式分解:x2-y2+1-2x。

【错解】x2-y2+1-2x=(x+y)(x-y)+1-2x。

【错因分析】从因式分解的定义看,把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫作多项式的因式分解。但错解的结果仍然是和的形式,我们应该先观察多项式的特征,先合并局部分解,再对整体分解。

【正解】x2-y2+1-2x=x2-2x+1-y2=(x-1)2-y2=(x+y-1)(x-y-1)。

因式分解问题应首先考虑能否提公因式,找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑。没有公因式或提公因式后,再根据项数考虑公式法:两项则考虑是否可用平方差公式;三项则考虑是否可用完全平方公式;三项以上则应考虑使用分组分解法。最后再从因式分解的三个特点逐一检查。

猜你喜欢

项数因式公因式
巧用“三招”,求数列不等式中项数n的最值
多项式整除及最大公因式理论整理与探究
求 和
含偶重因式(x—a)2的函数高考题赏析
创新思维对有效整合数学知识网络的意义
因式分解三步曲
《分解因式》《提公因式法》测试题
《运用公式法》测试题
帮你梳理“分解因式”
不等式(组)整数解的讨论