高考对对数函数性质的四种命题角度

■廖庆伟

对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式出现,难度中等。高考对对数函数的性质的考查主要有四种命题角度,下面举例分析。

一、对数函数的定义域

例1 函数f(x)= lgx+log2(5-3x)的定义域是( )。

评注:求对数函数的定义域应遵循的三个原则:分母不能为0;根指数为偶数时,被开方数非负;对数的真数大于0,底数大于0且不等于1。

二、对数函数的单调性与奇偶性

例2 设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是( )。

A.f(a+1)>f(2)

B.f(a+1)

C.f(a+1)=f(2)

D.不能确定

由函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增得0f(2)。应选A。

例3 已知函数y=f(x)是周期为2的奇函数,当x∈[2,3)时,f(x)=log2(x-1)。现给出以下结论:①函数y=f(x)的图像关于点(k,0)(k∈Z)对称;②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;③当x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x)。

其中正确结论的序号是( )。

A.①②③ B.①②

C.②③ D.①③

因为f(x)是周期为2的奇函数,又奇函数的图像关于原点(0,0)对称,所以函数y=f(x)的图像也关于点(2,0)对称。当x∈[2,3)时,f(x)=log2(x-1),作出函数f(x)在(1,3)上的图像,左右平移即得f(x)的图像,如图1所示。

由图可知,f(x)关于点(k,0)(k∈Z)对称,①正确。由y=f(x)的图像可知其周期为2,由此易知y=|f(x)|的周期也为2,②正确。设0

评注:函数的奇偶性问题要在定义域上求解;函数的单调性问题可以在定义域或定义域的某个子区间上求解。

三、比较对数值的大小

例4 设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是____。

利用指数函数和对数函数的单调性求解。因为a=60.4>60=1,0b>c。

评注:比较对数值的大小的三种方法:化为同底数后,利用函数的单调性进行比较;化为同真数后,利用图像进行比较;借用中间量(0或1等)进行估值比较。

四、解简单的对数不等式

评注:解对数不等式的常用方法:形如logax>logab的 不 等式,借 助y=logax的 单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b的不等式,先将b化为以a为底的对数再求解。