一类具有随机时滞的网络控制系统稳定性准则

孙国领，姜偕富，田亦飞

(杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

网络控制系统(Networked Control Systems，NCSs)是一种通过网络连接的闭环反馈分布式控制系统，由传感器、控制器、执行器和通信网络共同构成[1]。由于受到通信网络的物理局限，NCSs存在网络诱导时滞、数据丢包、随机性等问题，严重影响系统性能。过去几十年，在结合系统的有用信息以获得具有更小保守性的稳定性准则的研究上，学者们取得了很多重要成果。文献[2]采用Wirtinger不等式及凸组合引理来处理泛函导数中产生的二次型积分项，给出了系统稳定的充分条件，但系统时滞往往具有随机性，所得结果还可进一步完善；文献[3]用Bernoulli分布来描述数据的丢失，构造了一个时滞依赖的Lyapunov泛函，并基于李雅普诺夫理论给出了使系统均方指数稳定的充分条件，以达到减小稳定性准则保守性的目的，但计算过程相对复杂；文献[4]在数学上严格证明了增加概率区间数，可逐步降低稳定性准则的保守性，但计算量随概率区间数的增加而增大；文献[5]同时考虑了数据丢包和网络诱导时延问题，将时滞区间划分为2个相等的子区间，构造了一种新的Lyapunov泛函，通过推导得到一个H∞稳定性条件，取得了较好的结果；文献[6]构造了一个具有概率间隔输入时滞的网络控制系统新模型，并使用凸组合等方法处理泛函的导数，给出使得系统渐近均方稳定的充分条件，但未引入三重积分项，时滞信息未被充分利用；文献[7]考虑了3个概率区间的时滞分布情况，并采用广义Finsler引理处理概率分布信息，但其Lyapunov泛函未引入增广矩阵和三重积分项，时滞信息的利用率可进一步提升。本文针对线性网络控制系统的稳定性准则问题，在已有文献方法的基础上，引入更多网络控制系统的时滞信息和概率信息，采用Bernoulli分布描述系统时滞，构造一个改进的Lyapunov泛函，并使用广义Finsler引理等方法处理泛函求导产生的积分项，给出保守性较小的稳定性准则。

1 问题描述

一个基于网络控制的线性系统如下：

(1)

式中，x(t)∈Rn为系统状态，u(t)∈Rm为系统输入，A，B为适当维数的参数矩阵，x0为初始状态。

假设1网络控制系统控制器和执行器为事件驱动，传感器为时间驱动。

信号在ikd时刻由传感器采样得到，在ikd+τk时刻到达执行器，τk=τsc+τc+τca。其中d为采样周期，τsc为传感器到控制器的传输时滞,τc为控制器的计算时滞，τca为控制器到执行器的传输时滞。

若系统(1)可控，基于网络的控制器为：

(2)

式中，K为已知的控制器增益，将式(2)代入式(1)，得到：

(3)

式中，{i1,i2,i3,…}⊂{0,1,2,…}。当{i1,i2,i3,…}={0,1,2,…}，系统没有丢包；当ik+1

(4)

式中，φ(t)为[-h2,0]上的连续初始函数。

假设2存在常量h1和h2，满足0

采用满足Bernoulli分布的随机变量δ(t)描述系统时滞，即

其中，δ和1-δ分别表示系统的随机时滞发生在(0,h1]和(h1,h2]上的概率，显然，δ为在区间[0,1]上的常数。

令2个不同时滞区间的h(t)分别为h1(t)和h2(t)，且0

(5)

2 主要结果

(6)

(7)

Ξ+NΓ+ΓTNT<0

(8)

则系统(5)均方指数稳定。

其中

Ξ12=-2R1-U11-U12-U21-U22,

Ξ13=-P12+U11-U12+U21-U22,

Ξ17=2U12+2U22,

Ξ1,10=P22+h1Z,

Ξ23=-2R1-U11+U12+U21-U22,

Ξ27=6R1-2U12+2U22,

Ξ33=-Q1+Q2-4R1-4R2,

Ξ34=-2R2-S12-S21-S22,

Ξ35=S11-S12+S21-S22,

Ξ39=2S12+2S22,

Ξ45=-2R2-S11+S12+S21-S22,

Ξ49=6R2-2S12+2S22,

Ξ55=-Q2-Q3-4R2,

h12=h2-h1,

Γ=[AδBK0(1-δ)BK000000-I],

NT=[N1N2…N11]。

证明构造如下Lyapunov泛函

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

对V(xt)沿系统(5)轨迹做弱无穷运算，可得：

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

(9)

式中，

(10)

V2(xt)=xT(t)(Q1+Q3)x(t)+xT(t-h1)(Q2-Q1)x(t-h1)-xT(t-h2)(Q2+Q3)x(t-h2)

(11)

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

联立式(9)—式(16)可得E{V(xt)}≤E{ξT(t)Ξξ(t)}，为了证明方便，将系统(5)重新改写为：

本文在构造Lyapunov泛函的过程中，引入增广矩阵ζT(t)，相比文献[5-7]，运用了更多的时滞信息；在处理Lyapunov泛函求导结果的过程中，先对式(12)中h1和h12相关项进行拆分，再使用Wirtinger不等式和凸组合引理进行处理，充分运用了时滞信息，有效降低了稳定性准则的保守性。

3 数值算例

用MATLAB中的LMI工具箱求解定理中的最大允许时滞上界，通过2个数例来验证定理的有效性。

例1使用文献[5]中的系统模型，相应参数为

当δ=0时，运用定理所给准则，改变h1，求得系统所允许的最大时滞上界h2，对比文献[5]给出的方法，结果如表1所示。

表1 δ=0时，不同h1下获得的最大允许时滞上界h2

由表1可以看出，δ=0时，不同h1下，通过本文定理得到的h2比文献[5]大，说明本文给出的稳定性准则效果更好。

例2使用文献[6-7]中的系统模型，相应参数为

当h1=0.1时，运用定理所给准则，改变δ，求得系统所允许的最大时滞上界h2，对比文献[6]和文献[7]给出的方法，结果如表2所示。

表2 h1=0.1时，不同δ下获得的最大允许时滞上界h2

由表 2 可以看出，h1=0.1时，不同δ下，通过本文定理得到的h2比文献[6]和文献[7]大，说明本文所得结果的效果更好。

综上分析可知，运用本文定理得到的h2比文献[5-7]大，说明本文提出的稳定性准则更有效；结合表1和表2的数据分析可知，时滞分布的概率信息对减小稳定性准则的保守性具有重要作用。

假设可测得系统的最大网络诱导时滞τM为0.705 4 s，令传感器采样周期d为0.5 s，由表2第1列本文定理的数据3.705 4，结合本文对h2的描述即h2=τM+(ik-ik-1)d，可求得系统允许最大连续丢包数为5个，进一步验证了本文方法的有效性。

4 结束语

本文针对已有文献的不足，研究了线性网络控制系统中存在随机特性时的稳定性问题。在改进的Lyapunov泛函中，充分运用时滞信息，引入增广矩阵和三重积分项，对泛函导数使用Wirtinger不等式和凸组合引理等方法进行界定，并充分考虑时滞的概率分布，结合广义Finsler引理，得到了保守性更小的稳定性准则。但实际的网络控制系统往往受外部不确定性因素影响，下一步将研究参数不确定性系统的鲁棒稳定性问题。