基于粒子群优化的双脉冲发动机空空导弹爬高弹道研究

陈鹿斌，赵华超

(中国空空导弹研究院， 河南 洛阳 471000)

1 引言

现代战争离不开制空权的支持，而性能先进的空空导弹是夺取制空权的重要保证[1]。美国兰德公司在最近发表的研究报告中再次强调:“空中优势是美国所有常规军事行动的基础，而当前的空中优势依赖于先进的态势感知、隐身和超视距空空导弹”。超视距空空导弹最重要的性能指标之一，就是最大发射距离或等射程下最大末速，当发射距离相比对手处于优势地位，就可以做到先敌发射，先敌脱离，先敌命中，提高载机生存能力。在结构尺寸、质量约束下，不断增加射程是空空导弹的重要发展方向之一，爬高弹道作为一种特种弹道，对于提高空空导弹的攻击距离具有重要的现实意义[2]。李伟喆，陈万春在研究双脉冲空空导弹弹道优化问题时[4]，以导弹过载为设计变量，飞行末速最大为性能指标，利用Radau伪谱法进行优化。杨志红，徐宝华在研究吸气式高超声速飞行器爬升弹道优化问题时[4]，以攻角为设计变量，末端弹道倾角为性能指标，利用高斯伪谱法进行优化。国内研究多针对单一变量进行优化，优化后的弹道工程实现有一定难度。因此对于双脉冲空空导弹爬升弹道的优化问题还需要做新的研究。

2 爬高弹道增程原理

为满足快速作用性[5]，需简化导弹空间运动的方程和模型的计算量，因此作如下假设：

1) 平衡假设

认为在每一时刻，导弹相对于自己重心保持平衡(即处于平衡状态)，在此状态有平衡攻角和平衡舵偏角相对应，作为气动特性参数的给定值均为平衡状态值。

2) 无惯性假设

在整个弹道上，除了受控飞行的初始段有惯性外，在其余段认为给定过载的实现过程是无惯性的，在每个瞬间，在模型中所建立的过载与攻角之间是平衡关系。

建立三自由度导弹动力学微分方程[6]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

导弹飞行距离：

(7)

目标运动方程：

(8)

(9)

(10)

载机运动方程完全类同目标运动方程。

导引律方程：

(11)

vc=vm-vT

(12)

可以看出提升发动机性能和优化气动外形减小阻力是增加空空导弹射程的有效手段。同时，阻力项中，空气阻力

(13)

式中：ρ为当前飞行高度下的空气密度；V为当前飞行速度；S为空空导弹的参考面积；Cx为阻力系数。由阻力表达式可知空空导弹的空气阻力在一定条件下随空气密度的减小而减小。空气密度随高度增加而减小且减小程度十分明显，在0～25 km范围内，减小了近97%。所以，空空导弹在密度较小的高空飞行可以大大减小阻力，增大射程[7]，因此在较大高度飞行可以提高射程。

3 双脉冲固体火箭发动机

3.1 发动机数学模型[8-9]

设I为双脉冲发动机的总冲，I1为Ⅰ脉冲总冲，I2为Ⅱ脉冲总冲。则有

I=I1+I2

(14)

M为双脉冲发动机的总装药量，M1为Ⅰ脉冲装药质量，M2为Ⅱ脉冲装药质量。则有

M=M1+M2

(15)

F1为Ⅰ脉冲平均推力，t1为Ⅰ脉冲推力持续时间，F2为Ⅱ脉冲平均推力，t2为Ⅱ脉冲推力持续时间。则有

(16)

mc1为Ⅰ脉冲工作期间的质量流量，mc2为Ⅱ脉冲工作期间的质量流量。则有：

(17)

Δt为Ⅰ、Ⅱ脉冲工作间隔时间，若Δt=0，则双脉冲发动机为连续点火，若Δt≠0，双脉冲发动机为间隔点火。推力大小如图1所示。

图1 双脉冲固体火箭发动机推力与时间的关系示意图

3.2 双脉冲固体火箭发动机弹道特点

双脉冲固体火箭发动机在空空导弹爬高弹道上的工作过程可以分为4个阶段[10]：①Ⅰ脉冲发动机工作，导弹以给定的爬升角开始爬升；②Ⅰ脉冲发动机工作完毕到Ⅱ脉冲发动机开始工作前这段间隔时间内，导弹进行无动力飞行；③Ⅱ脉冲发动机开始工作，空空导弹二次加速；④ 空空导弹无动力飞行直至命中目标。采用双脉冲固体火箭发动机空空导弹的爬高弹道曲线如图2所示，常规发动机与双脉冲发动机导弹速度曲线如图3所示[11]。

图2 双脉冲空空导弹典型弹道曲线示意图

图3 常规发动机与双脉冲发动机导弹速度曲线示意图

在总冲一定的条件下，通过优化爬升角、爬升时间、双脉冲固体火箭发动机点火间隔及发动机推力比，可提供不同的推力形式，均可使末速增大。但以前的研究多是单一变量且没有经过优化设计。

4 粒子群优化算法

由上文知，爬升角、爬升时间、点火间隔及发动机推力比都会影响爬高弹道的作战性能。当同时考虑这4种参数的设计时，如何选择能够让导弹具有最远的射程或者等射程下最大的末速，是本文研究的主要内容。

在考量速度，距离等结果因素下，如何选择最优的点火间隔，本研究选择使用粒子群算法进行弹道优化。

4.1 粒子群算法原理[12]

粒子群优化算法(partical swarm optimization,PSO)是一种模拟鸟群觅食行为而发展起来的一种基于群体协作的随机搜索方法。PSO算法首先初始化一群随机粒子(随机解)，然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子们通过跟踪2个“极值”来更新自己的位置。第一个极值是粒子本身所找到的最优解，这个解称为个体极值；另一个极值是整个种群所找到的最优解，这个极值称为全局极值。

4.2 粒子群算法基本流程

应用PSO算法解决优化问题的过程中，对于n维寻优变量，粒子解可以编码为X=[x1,x2,…,xn],适应度函数fitness=f(X)。

1)初始化群微粒，设定参数运动范围，设定学习因子c1、c2、c1为局部学习因子，c2为全局学习因子，一般取c2大一些。最大进化代数G，cg代表当前的进化代数。在一个D维参数的搜索解空间中，粒子组成的种群规模大小为Size，一般取20～40，对于比较难的问题，粒子数可以取到100～200。每个粒子代表解空间的一个候选解，其中第i个粒子在空间中的位置表示为Xi，速度表示为Vi。第i个粒子从初始到当前迭代次数搜索产生的最优解为个体极值pbest，整个种群目前的最优解为gbest。随机产生Size个粒子，随机产生初始种群的位置矩阵和速度矩阵。

2) 适应度评价：将各个粒子的初始位置作为个体极值，计算群体中各个粒子的最初适应值f(Xi)，并求出种群最优位置。

3) 更新粒子的速度和位置，产生新种群，并对粒子的速度和位置进行越界检查。为避免算法陷入局部最优解，加入一个局部自适应变异算子进行调整[13]。

(18)

(19)

其中，cg=1,2…,G,i=1,2…,Size,r1和r2为0到1的随机数。ω为惯性权重

(20)

4) 比较粒子的当前适应值f(Xi)和自身历史最优值pbest,如果f(Xi)优于pbest,则pbest=f(Xi)，并更新粒子位置。

5) 比较粒子当前适应值f(Xi)与种群最优值gbest。如果f(Xi)优于gbest，则gbest=f(Xi),更新种群全局最优值。

6) 检查结束条件，若满足，则结束寻优；否则cg=cg+1，跳转至第三步，结束条件为寻优达到最大进化代数，或评价值小于给定精度。

PSO算法流程如图4所示。

本研究中对点火间隔、爬升角、爬升时间和Ⅰ/Ⅱ级推力比进行了寻优，粒子可以直接编码为[Tgap,θc,Tc,η]，适应度函数fitness=max(vf)。

5 仿真分析

5.1 仿真参数设置

导弹总体参数：导弹初始质量m0=200 kg,导弹直径180 mm，弹长3 650 mm，参考面积S=0.028 m2。

本研究的目标函数是最大末速:

f(X)=max(vf)

设计变量X由点火间隔Tgap，爬升角度θc，爬升时间Tc，Ⅰ/Ⅱ级推力比η组成:

X=[Tgap,θc,Tc,η]

发动机参数设置：发动机总冲I(kN·s)，Ⅰ脉冲发动机总冲I1(kN·s)，Ⅱ脉冲发动机总冲I2(kN·s)，总装药质量为mf(kg)。

图4 PSO算法流程框图

限制Ⅰ/Ⅱ级脉冲最大点火间隔为90 s，导弹爬升角0°～60°,导弹过载nm

5.2 仿真条件设置

条件①：发射距离R1km，发射高度11 km，速度1.5ma；目标高度11 km，速度1.5ma；进入角180°，目标不机动。

条件②：发射距离R2km，发射高度10 km，速度1.2ma；目标高度10 km，速度1.2ma；进入角0°，目标不机动。

5.3 仿真结果及分析

通过粒子群寻优结果，以最大末速vf作为寻优指标。条件①的最优参数点火间隔42 s，爬升角25°；条件②的最优参数点火间隔22 s，爬升角36°。在此条件下与原弹道结果如表1所示。

由表1可以看出优化过的弹道对比原始弹道，条件①下优化弹道飞行末速比原始弹道提高了271 m/s，增速比26.4%；条件②下优化弹道飞行末速比原始弹道提高了245 m/s，增速比39.6%。

由图5和图7可以看到加大了爬升角度，爬高弹道的爬升高度变高。间隔点火能够降低飞行弹道的最大速度，从图5中可以看到，迎头攻击时，在飞行后期点火，可以在接近目标的时候获得更大的速度，在Ⅱ脉冲发动机能够工作完全之前，越迟点火可以获得越高的末速。

尾后攻击对于最优点火间隔有着不同的选择，虽然前期随着点火间隔变大，末速会随着提高，但是过大的点火间隔会使整个攻击时间拉长，弹道距离变长，末速降低。又分别对条件①、②下的全进入角进行了参数寻优，并与原始弹道进行了对比。结果如表2所示。

表1 原始弹道与优化弹道结果

图5 条件①XOY平面弹道曲线

图7 条件②XOY平面弹道曲线

表2 全进入角度优化结果

在极坐标中画出了优化前后末速与进入角关系，如图9所示。可以看到对于全进入角优化后弹道的末速都大于原始弹道的末速。

图9 优化前后末速图

另在极坐标中画出了优化前后等末速飞行距离与进入角关系，如图10所示。可以看到对于全进入角优化后弹道的等末速下飞行距离都大于原始弹道的飞行距离。

图10 优化前后飞行距离图

对比2个条件下的不同进入角弹道的速度曲线如图11所示，在迎头攻击时(进入角180°、150°、120°)，尽量延后Ⅱ脉冲发动机点火，可以得到最大的飞行末速；在尾后攻击时(60°，30°，0°)，点火间隔不宜过长，否则会拉长攻击时间，加大飞行距离，减小飞行末速。在90°进入角时，点火间隔的选择方式与弹道条件有关，条件①选择了在前期点火，条件②选择了尽可能延后的点火方式。

假设目标在被导弹攻击时采取逃逸机动。优化结果与不机动时的结果如图 12所示。

图11 不同进入角弹道速度曲线

图 12 目标做逃逸机动下优化结果曲线

由图12中结果可以看到当目标做逃逸机动时，优化的Ⅱ脉冲点火时刻相比不机动提前了16s,可知目标的机动方式也会对优化参数产生影响。

6 结论

1) 在目标不机动时，迎头条件下，考虑到Ⅱ脉冲发动机工作完全，尽可能地延迟点火可以增加末速；在尾后条件下，最佳点火间隔出现在Ⅰ脉冲发动机工作后的某一中间时刻；在侧向条件下，点火间隔的选择方式与弹道有关；

2) 当考虑到目标做逃逸机动时，最佳点火间隔相比不机动将会缩短。

3) 与原始爬高弹道相比，通过本文优化设计后的弹道可以在相同距离下取得更高的末速，或在相同末速下飞行更远的距离，达到增程效果。