小学数学“变中有不变”思想的实践与思考

王锡芳

【摘 要】世间百态，瞬息万变，倘若洞悉了个中奥妙，掌握其中玄机，便能化动为静，更好地认知世界。其实数学教学莫不如是，在变化万千的题组变式中，若能抽丝剥茧，把寻到“不变”之匙，定能发现知识本真，撬开与之关联的诸多问题之锁，解决相类同的数学问题。“变中有不变”思想，就是让学生透过现象看本质，把握联系找规律，进而实现知能、思想、体验等多方面的成长，提升数学学习的核心素养。在这一过程中当努力做到：从肤浅到深入，让学生在“变”与“不变”中感知知识的形成过程;从片面到全面，在“变”与“不变”中经历知识的探索过程;从割裂到统整，在“变”与“不变”中感悟知识的应用过程。

【关键词】“变中有不变”思想 知识形成 知识探索 知识应用

“动与静”是哲学观中的一组关键词，用以辩证性地认知世界。动静相宜，互为补充，此乃融善之道。意为在变幻莫测的现象中，找到不变的规律，以便更好地认识它，为自身服务，可视为不变。在学习数学或用数学解决问题的过程中，也会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是“变中有不变”思想，正所谓“万变不离其宗”。数学教学时，面对变化万千的题组变式，若能引导学生抽丝剥茧，把寻到“不变”之匙，定能发现知识本真，撬开与之关联的诸多问题之锁，解决相类同的数学问题。

一、从肤浅到深入，在“变”与“不变”中感知知识的形成过程

知识的获取和认识不是一蹴而就的，而是有其内在联系的，需要循序渐进，在多变的外形下引导学生经历逐步内化的认知过程，促使其真正触及概念的本质，掌握知识的原理。

如教学“倍的认识”一课，新授环节通过设计三个层次的教学，让学生在“变”与“不变”中逐步深化对“倍”的认识。第一个层次，教师利用课件进行动态演示，在第一行画2个圆，告诉学生可以把它看作一份圈起来，并称它为“1个2”，再出示第二行的圆，让学生一起来数一数共有几个2。在此基础上告诉学生：第一行有1个2，第二行有3个2，像这样就可以说，第二行的个数是第一行的3倍。接着，通过逐步增加第二行圆的个数，让学生认识4倍、5倍、6倍直至幾倍。第二个层次，保持第二行圆的个数（12个）不变，变化第一行圆的个数（从2个变成4个），追问学生：“第二行圆的个数是否还是第一行的6倍？”让学生试着圈一圈。学生在圈的过程中发现第一行有1个4，第二行有3个4，第二行的个数是第一行的3倍。接着去掉第一行的一个圆，变成3个，再次让学生圈一圈，学生发现第一行有1个3，第二行有4个3，第二行的个数是第一行的4倍。最后，比较三次变圆的过程，提问：“第二行都是12个圆，可为什么有的第二行是第一行的6倍，有的第二行是第一行的4倍，还有的第二行是第一行的3倍呢？”通过探究学生明白：要知道第二行的个数是第一行的几倍，关键是要看清第一行是几个为一份的，第二行有这样的几份，第二行的个数就是第一行的几倍。第三个层次，屏幕隐去上面图框中的圆，只留下图框，引导学生思考：第一行除了可以画2个圆、3个圆、4个圆，你觉得还可以画什么？逐步引导学生说出：还可以画三角形、正方形、红花、蓝花等。最后小结：不管第一行是什么物体，也不管有几个，只要把第一行的数量看作一份，第二行有这样的几份，就可以说，第二行的个数是第一行的几倍。

上述三个层次，由浅入深，教师通过对例题的巧妙扩容，将倍的概念先解构再建构，让学生在“变”与“不变”的智慧演绎中，不断获得更清晰的概念表象，“倍”的模型也在学生头脑中悄然生长。在这里，“变”的是物体的个数，“不变”的是“只要把第一行的数量看作一份，第二行有这样的几份，第二行的个数是第一行的几倍”这样的模型。“变”与“不变”的智慧，加深了学生对“倍”的理解，也点燃了学生乐学的情感。

二、从片面到全面，在“变”与“不变”中经历知识的探索过程

建构主义哲学认为：学习是一个积极主动的探知过程，是学生自主完成知识建构的过程。因此，在数学课堂中要注重探究式学习，引导学生观察比较，在“变”与“不变”中经历知识的探索过程，从而获得深刻的感性体验和理性规律，提升自我探究解决问题的能力。

如教学“一一间隔排列”一课，分三个层次让学生经历知识的探索过程。第一个层次结合情境图，让学生观察夹子与手帕、小兔与蘑菇、木桩与篱笆这三组物体的排列特点。在让学生知道什么是一一间隔排列的基础上，引导他们数一数这些一一间隔排列的物体的个数，并通过观察、比较形成初步的猜想：两端物体和中间物体的个数相差1。第二个层次，举例验证，用小棒和圆片摆一摆，同桌交流摆法后，全班交流并汇报展示几种摆法，然后引导学生观察小棒与圆片的个数，思考：小棒和圆片有着怎样的排列特点？它们的个数又有怎样的排列规律？最后得出结论：不管是什么物体，也不管有多少个，只要是一一间隔排成一行，两端相同，那么两端物体就比中间物体多1，中间物体就比两端物体少1。第三个层次，拓展延伸，教师追问：两端是小棒时，100根小棒之间应摆多少个圆片？若摆了100个圆片需要摆多少根小棒？出示：10个正方形，并引导学生思考：正方形和三角形一一间隔排列，如果正方形有10个，三角形可能有多少个？最多有多少个？最少呢？如果围成一圈呢？

上述三个层次，由情境引入，不断变换探究的对象和物体的个数，从一开始的夹子与手帕、兔子与蘑菇、木桩与篱笆，到后来的小棒与圆片，再到后来的正方形和三角形，教师通过不一样的素材，丰富了学生的感官，让他们经历了“初步猜想—举例验证—得出结论—拓展延伸”的探索规律的全过程。同时也展现了动态教学的优势，通过多媒体演示让学生直观感知直线与封闭图形中间隔现象的异同，了解其中的变化规律。教学中，教师不时鼓励学生透过现象去抓住数学中不变的本质。这种应用不变的本质去解决变与不变的哲学思想是本课的点睛之笔。

三、从割裂到统整，在“变”与“不变”中感悟知识的应用过程

数学问题的呈现情境各不相同，然而其内在解题思路是相通的。如果能够抓住数学模型来认知，那么就可以去伪存真，不为问题表象所迷惑。培养学生的模型思想，有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。当学生理解并掌握了各种基本的数学模型后，面对变化多样的数学问题，就可以利用已掌握的模型进行分析求解，把握数学的本质。

如分數应用题一直以来都是学生容易出错、不易解答的一类题，尤其是当题目中分数、比同时出现时，部分学生会无从下手，不知所措。虽说除法、分数和比表面上有很大不同，除法是一种运算，分数是一种数，比表示一种关系，实际在本质上它们有一致的一面，都可以表示两个数量之间的关系。教学时，教师要充分认识到这一点，设计具备典型意义的题目，帮助学生厘清数量间的关系。首先，课件出示：“小明读一本书，已读和未读的页数比是1：5，如果再读30页，则已读的页数是未读的3 /5，这本书共有多少页？”读题后先让学生理解1：5和3 —5分别表示的含义，再引导学生思考：什么变了，什么没变，以及把什么看作单位“1”。在此基础上，抓住“总页数”这个不变量，进行合理地分析，变化题中已知条件的表述，“已读与未读的页数比是1：5”变化为“已读的页数是总页数的1/6”，“已读的页数是未读的3/5”变化为“已读的页数是总页数的3 /8”，并借助线段图分析数量间的关系，列出算式：30÷（3/8-1 /6）。最后，带领学生回顾整个思考过程并追问：“根据条件，你还能提出哪些问题？”学生很快就能提出“小明还剩多少页没有读”的问题。由于总量已知，要解决这一问题非常简单，只要用单位“1”（总页数）乘还剩的页数的占比。接着，趁热打铁，设计一个让学生找一找不变量的题组，可以是“部分量不变”，也可以是“相差量不变”，让学生在分析比较中，学会从变化中找到不变量，并把不变量看作单位“1”来解题的方法，同时体会抓住不变量解题的重要性。最后，可以尝试让学生自己创编题目，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

如果说新授课上学生对分数、比的认识仅仅是割裂的，是孤立知识点的累加，那么设计分数应用题题组就能很好地将两者融合，调动学生的解题兴趣，丰富教学过程。在一次次的比较分析中，学生充分感受到了虽然题目千变万化，但可抓住“不变量”来解题的重要性。教师将一些深刻的数学本质生动地呈现出来，学生对数学思想的感悟也随之增强。

学生探索知识的形成、发展和应用，除了获取知识，更重要的是经历探索的过程，获得积极的体验，感悟探索数学知识的基本思想与方法。小学数学教学中，抓住“变中有不变”思想展开教学，有助于学生删繁就简，抓住本质，形成更简练的思维品质。“泰山不让土壤，故能成其大;河海不择细流，故能就其深。”教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。