操作中理解 对比中迁移 探究中发现——例谈《有余数除法》

江苏省苏州太湖国家旅游度假区舟山实验小学 王燕琴

《有余数的除法》是苏教版小学数学二年级下册第一单元的内容。这一知识的学习是建立在学生掌握了表内乘除法的基础之上的。有余数除法和表内除法是一个有机整体，表内除法是有余数除法的基础和起点，有余数除法是表内除法的延伸和拓展。近日，我有幸参加了市小学数学优质课评比活动，正好执教了这一课，下面就结合磨课历程谈一点思考。

一、注重操作，促进对知识的理解

【课前研讨】

数学学习中，动手操作是学生学习、理解数学的有效方法。教材中例1对余数概念和有余数除法意义的理解，都是通过操作来实施的，从具象操作到符号表征，引导学生由浅入深理解有余数除法的意义。而通过对学生进行前测时，我们发现，学生在实际生活中有分东西剩余的经历，他们对“余数”是有一些认知的，但对于余数的产生以及意义认识是不够清晰的。因此，在教学时我们要联系生活实际，创设真实的学生喜闻乐见的情境，运用学生已有的认知和经验，通过操作沟通有余数除法和表内除法的关系，从而有效引导学生理解“有余数除法”的意义。

【课堂呈现】

师：大头儿子在玩车子拼装。10个轮子，每辆装2个，你会分一分吗？用一个算式表示。

生：10÷2=5（辆）

师：这个算式表示什么意思？

生：10个轮子，每辆装2个，可以装5辆。

师：10个轮子，2个2个地平均分，用除法表示。

师： 10个轮子，每辆装5个，可以装几辆？你能用算式表示吗？这个算式表示什么意思？

生：可以装2辆，10÷5=2（辆），10个轮子，每辆装2个，可以装5辆。

师：10个轮子，每辆装3个，结果会怎样？请拿出10个圆片分一分。

学生操作，展台交流：你们发现了什么？这1个还够装1辆吗？

【课后反思】

抓住新旧知识的“联结点”——平均分，创设大头儿子“装车轮”这一现实、有趣的问题情境，一方面激起了学生的探究欲望，使之积极主动地投入到“装车轮”的活动中；另一方面依托装车轮的问题情境，唤醒“正好分完”的旧知经验，然后借助“平均分”这一已有经验，将圆片3个3个地平均分，通过具体的操作丰富平均分的活动经验，随后在操作的基础上引导学生用语言表达平均分的过程和结果，为后面写除法算式做铺垫。

二、反复比较，实现知识的迁移

【课前研讨】

我们开始认为，学生在亲历操作活动，发现并理解了平均分有剩余的情况后，是能够顺利地将表内除法的概念迁移出来，正确理解有余数除法的意义。但是，在实际教学中，很多学生无法列出有余数除法的算式。我们首先从学生的认知角度进行了思考，维果茨基认为，概念学习的首要方法就是迁移，即设法把特定情境中形成的概念运用于一组新的物体或环境。事实证明，要实现从“表内除法”到“有余数除法”这一迁移很困难。这里存在着两个认知冲突，一是平均分概念与分物分不完的冲突。学生之前认识平均分，所遇到的情况都是正好能分完的。因此，他们已经牢牢树立了这么一个观念：只要是能用除法表示的问题都是可以平均分的，而且没有剩余。二是用口诀求商与不能计算之间的冲突。学生以往遇到的除法都是能用乘法口诀进行求商的，当学生发现列出的除法算式不能用乘法口诀求出商时，就认为一定是列式错误了，就没法列出“10÷3=3……1”这样的算式。

【课堂呈现】

师：观察三次装车轮，安装的结果有什么不同？

生：装2轮车、5轮车正好装完，装3轮车有剩余。

师：看来平均分一些物体时，会有两种情况，有时刚好分完，有时会有剩余。

师：这种平均分正好分完的情况可以用除法算式表示，那这种平均分后有剩余的情况，你也能写一写算式吗？

呈现学生的算式，观察比较：

10÷3=3（辆）

10-1÷3=3（辆）

10÷3=3（辆）……1（个）

师：三个算式不一样，但都想到了——除以3。10个轮子3个3个平均分，所以用10÷3表示。

师：这里都有1，这个1表示什么意思？

生：表示剩余的1个。

教师边板书边讲述：数学上我们在商的后面加上“……”，再把剩余的个数写在后面。

调引大江大河的水，引蓄当地水库、湖泊的水，集蓄雨水，提取地下水，调蓄到水源性坑塘中，满足农民生活用水要求，是关系农民群众身体健康的民生问题。为了改善坑塘蓄水环境，应严格实行水源性坑塘保护、水质监测和水质处理相结合的措施，使坑塘水质符合国家《地表水环境质量标准》和《地下水质量标准》。同时，因地制宜建立集中式供水工程和分散式供水工程，经过混凝、沉淀、过滤、消毒等工艺处理，使水质达到国家《生活饮用水卫生标准》。再经过硬质管道入户，让农民喝上干净达标的洁净水、放心水。

【课后反思】

教学过程中，我们要充分运用直观和算式进行对比，在对比中使学生理解什么是余数以及其意义。并且通过对比，沟通直观表征、语言表征、符号表征之间的转换，使学生清楚它们所表示的意思是一样的，只是表达形式不同，从而深化对有余数除法的理解。在这一教学过程中，首先通过三次分车轮的结果进行对比，使学生明确平均分的两种情况，“正好分完”和“分后有剩余”，紧接着让学生试着写算式，学生根据学习除法的经验，平均分用除法表示，大部分学生都能写出10÷3，但是不知道剩余的1个怎么表示，有的写在前面“10-1”，有的加在后面，于是我们抓住这些不同的算式请学生再次进行比较：三个算式虽然不一样，但都用了“10÷3”表示，使学生再次明确平均分用除法表示，随后抓住1的不同表示方法进行规定写法的引导，学生对于有余数除法意义的理解也随着算式的自然呈现而更加深刻。

三、拾阶而上，规律探究水到渠成

【课前研讨】

理解“余数必须比除数小”是学生认识上的难点，教材设计了用小棒摆正方形的活动：每4根小棒摆一个正方形，用12、13、14、15、16根小棒能摆几个正方形？学生先摆一摆，填写除法算式中的商和余数，然后引导学生观察、比较除法算式中的除数和余数，发现规律。但是教材上只有呈现了摆正方形这一种情况，并且余数1，2，3只出现了一次，学生对余数和除数关系的感悟不够深刻，那么如何突破这一难点？使学生对余数和除数关系的理解水到渠成呢？

【课堂呈现】

师：搭一个正方形需要几根小棒？8根小棒可以搭几个正方形？（学生回答）

师：像这样用12、13、14、15、16根小棒搭正方形，结果会怎样？请拿出研究单，圈一圈，写一写。

师：17根小棒搭正方形，余数会是几？18根、 19根呢？

师：观察算式中的余数和除数，你有什么想说的？

生：除数都是4，余数都是1、2、3

师：余数怎么没有4呢？

生：因为4根小棒又可以搭一个正方形，没有余数了。

师：继续搭五边形，除数是5，余数可能是几？ 可能是5吗？

生：不可能，因为5根小棒又可以搭一个五边形了。

师：看来，除数是5，余数只可能是1、2、3、4

师：搭六边形，除数是6，余数可能是几？

师：比较这些余数和除数，有什么发现？

生：我发现了余数都比除数小

【课后反思】

在探索“余数比除数小”这一规律时，我们在教材原有基础上进行延伸，放手让学生自己去发现余数的特点，通过在学习单上圈一圈、填一填，发现余数总在1、2、3之间变化，完成纵向探究；然后再让学生猜想搭五边形、六边形，余数可能是几，进行横向探究，在丰富的活动材料支撑下，学生得出“余数比除数小”这一规律便是呼之欲出了。三次搭小棒活动，学生一步步自主经历知识的发现过程，获得成功的体验。

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。因此，我们在概念教学时， 要根据学生已有的知识和经验，引导学生动手操作，观察分析、抽象概括， 自觉获取事物的本质属性和规律。本节课，在具体的情境中理解概念，重视引导学生在具体的情境中理解数学知识，从直观、形象、具体的材料入手，让学生经历具体问题“数学化”的过程，在观察、猜测、操作和归纳等活动中自主、合作探究形成自己的认识，使学生在获得间接经验的同时获得直接经验。