清华简《算表》再研究

衣抚生

（河北经贸大学发票博物馆，河北石家庄 050061）

清华简《算表》是目前所知我国最早的数学文献，也是我国最早的计算器，还是世界上最早的十进制乘法表的实物，它的发现在我国数学史上占据重要意义，引起广泛关注。学者对此有许多探讨[1-5]，其中全面介绍《算表》功能的，是李均明、冯立昇两位先生的论文《清华简〈算表〉的形制特征与运算方法》（以下简称《运算》）[6]、《清华简〈算表〉的功能及其在数学史上的意义》（以下简称《功能》）[7]。《运算》和《功能》称，该表“可能还用于开平方运算，但我们不能确定这一算表当时已被用于开方这样的复杂运算，这一问题尚待进一步探讨。”这一论述无疑是审慎而可取的。其中的原因，除了《运算》所说的开平方计算是“复杂运算”之外，可能更重要的原因是：《运算》所描述的开平方运算，用的是《九章算术》中的方法，而《九章算术》成书的两汉之际距离《算表》所在的战国时期，相差了二百年以上，未必能作为《算表》具有开平方功能的证据。以和《算表》时代相近的张家山汉简《算数书》为证，证明《算表》确实具有开平方功能，只是计算方法和《运算》描述的有所不同。在此基础上，笔者得出一个具有学术史意义的结论：早在战国时期，我国就已经产生了具有开平方功能的计算器。

具体说来，《运算》以2 304 为例，解说《算表》的开平方功能：

先在对角线中找出小于2 304 但与其最近的数1 600，将通过1 600 的纵横引线分别延伸至第一功能区，所见数字40 即确定了平方根之十位数。以1 600 减2 116 得516，即2 304－1 600=704，在纵横引线找到最接近但小于704 一半（352）的数320，通过另两条分别过两个320 的正交引线可确定平方根之个位数位为8。而320 的2 倍是640，704－640=64=82，因此正好被开尽。因此可求得，=48[6]。

这段描述有一个小错误：“以1 600 减2 116 得516”，这句话莫名其妙，原文没有2 116，也不该有516。我怀疑，《运算》本来以2 116 为例（平方根为46），不知为何，中途改成以2 304 为例（平方根为48）。改动时，“以1 600 减2 304得516”这句话，应该改为“以1 600 减2 304得704”，由于疏忽而未改。

在张家山汉简《算数书》中，找到比《九章算术》更早的开平方计算。《算数书》的拥有者为汉初某低级官吏，该官吏的下葬时代在汉朝吕后二年（前186）。《算数书》的算题为摘抄性质，是广泛地从各种书籍中摘录而来，并非原创，我们可以得出两个重要结论：第一，《算数书》的算题与算法的来源时间必然不晚于吕后二年，学界一般推测为战国时期或秦代。也就是说，其年代距离《算表》非常相近，可以作为我们研究《算表》的参考。第二，《算数书》的内容为低级官吏抄录而来，说明这些算题在当时较为常见，流传较广。如此高水平的《算表》，其制作者肯定是知道《算数书》中记载的数学知识的。也就是说，《算数书》的知识可以用于推算《算表》的功能。

《算数书》中，有一道名为“方田”的算题，其实质为整数的开平方近似计算，其内容如下：

方田田一亩方几何步？曰：方十五步卅一分步十五。术曰：方十五步不足十五步，方十六步有余十六步。曰：并赢、不足以为法，不足子乘赢母，赢子乘不足母，并以为实，复之，如启广之术[8]。

这道算题实际上是求240 的平方根是多少。计算方法是：容易知道，平方根位于15～16 之间。152=225，不足240，所以称15 为“不足母”，余数240－152=15 称为“不足子”。162=256，超过240，所以称16 为“赢母”，余数162－240=16称为“赢子”。以“不足母＋赢母”作为分母，以“不足子×赢母＋赢子×不足母”作为分子，得到的分数就是其近似值。

《算数书》计算整数开平方的方法，和《运算》描述的不同，思路简单而巧妙：将复杂的开平方运算变为简单的乘方运算，这样就极大地降低了计算的难度。如果不能开尽，则找到“不足子”“不足母”和“赢子”“嬴母”，用盈不足术取得近似值。用这种方法计算《运算》中的例题2 304的平方根，计算方法为：

（1）先在对角线中找出小于2 304 但与其最近的数1 600，将通过1 600的纵横引线分别延伸至从第一功能区，所见数字40 即确定了平方根之十位数。下面尝试找到小于平方根的“不足母”和大于平方根的“盈母”；

（2）因数40，1 两条引出线与因数40，1 两条引出线纵横相交于1 600，40，40，1 四个交点，将此四数相加为1 681，小于2 304，继续尝试；

（3）因数40，2 两条引出线与因数40，2 两条引出线纵横相交于1 600，80，80，4 四个交点，将此四数相加为1 764，小于2 304，继续尝试；

（4）因数40，3 两条引出线与因数40，3 两条引出线纵横相交于1 600，120，120，9 四个交点，将此四数相加为1 849，小于2 304，继续尝试；

（5）因数40，4 两条引出线与因数40，4 两条引出线纵横相交于1 600，160，160，16 四个交点，将此四数相加为1 936，小于2 304，继续尝试；

（6）因数40，5 两条引出线与因数40，5 两条引出线纵横相交于1 600，200，200，25 四个交点，将此四数相加为2025，小于2 304，继续尝试；

（7）因数40，6 两条引出线与因数40，6 两条引出线纵横相交于1 600，240，240，36 四个交点，将此四数相加为2 116，小于2 304，继续尝试；

（8）因数40，7 两条引出线与因数40，7 两条引出线纵横相交于1 600，280，280，49 四个交点，将此四数相加为2 209，小于2 304，继续尝试；

（9）因数40，8 两条引出线与因数40，8 两条引出线纵横相交于1 600，320，320，64 四个交点，将此四数相加为2 304。可见48即为平方根。

对于《算数书》的开平方算法而言，计算2 304 的平方根实在是太过简单的事情，就连2 305 等无法开尽的平方根，它都有办法处理。其计算方法为：

（1）先计算平方根的十位数，结果为40：在对角线中找出小于2 305 但与其最近的数1 600，将通过1 600 的纵横引线分别延伸至从第一功能区，所见数字40 即确定了平方根之十位数；

（2）计算41 的平方，看其与2 305 的关系：因子40，1两条引出线与因子40，1两条引出线纵横相交于1 600，40，40，1 四个交点，将此四数相加为1 681，即412＝1 681，小于2 305，继续尝试；

（3）以此类推，分别计算422，432，442……482，492与2 305 的关系，发现482为2 304，小于2 305，492为2 401，大于2 305，则个位数为8；

（4）由（3）可知，“不足母”为48，“不足子”为2 305－482＝1，“赢母”为49，“赢子”为492－2 305＝96，则最终的结果为(1×49＋48×96)/(48＋49)＝。

需要注意的是，今天的数学计算追求绝对准确，所以会觉得古人没法计算2 305 的平方根，但所追求的首先是实用，而不是绝对准确。比如，秦汉时期的π 取值为3，误差较大，就是出于实用的目的而非绝对准确。《算数书》计算整数开平方运算，也是类似的并不完全准确的实用方法。这样就导致《运算》眼中的“复杂运算”，在古人的近似计算中却相当简单。我想，这种思路上的差别可能是李、冯两位先生不太敢相信《算表》可以被用于计算整数开平方计算的原因。

综上所述，《算表》具备计算整数开平方的功能，而且计算方法应该和《算数书》“方田”算题相近。因此，我国产生具有开平方功能的计算器的时间，可以毫无疑问地提前到战国时期。