浅谈“租船问题”和“鸡兔同笼问题”

孙锐娟

2011年数学课程标准，根据学生发展的生理和心理特点，将九年的学习时间划分为三个学段。在各个学段中，都安排了四个部分的课程内容。其中“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。^①“鸡兔同笼”和“租船问题”正是来源于生活，并且把数学知识运用到了生活中，这两类问题就像沟通数学知识与现实生活的一座桥梁。不仅能使学生建立数学与生活的联系，而且能提升学生对学习数学的兴趣，从生活中发现数学知识的乐趣。

一、数学解决问题方法的多样性

1.租船问题中已知的条件和鸡兔同笼问题中已知的条件以及问题不一样。例如人教版四年级下册第一单元例5：已知我们一共有32人，小船租金24元，限乘4人，大船租金30元，限乘6人，问题是怎样租船更便宜？^②这是典型的“租船问题”;再如人教版四年级下册第9单元练习二十四中第2题：已知全班一共38人，共租了8条船，每条船都坐满了，大船可以坐6人，小船可以坐4人，问题是大、小船各租了几条？^③这是“鸡兔同笼问题”中的变式训练，但是都和租船有关，如果定位不准确，那便不能正确的进行解答。这两类问题都是已知了全班的总人数，大船和小船可以乘坐的人数;不同的地方是租船问题已知大船小船租金各是多少，问题是怎样租船更便宜，而鸡兔同笼问题没有涉及到租金，已知的是租了大船小船的具体数量，要求各租了多少条船。

2.租船问题的解题思路为首先计算出哪种船的租金便宜，就考虑先祖这种船，如果这种船没有坐满，再进行调整，考虑租另一种船。调整时，要尽量把船坐满，使船上没有空座。例5解题过程：

24÷4=6（元） 30÷6=5（元）

6>5 大船租金便宜，所以先租大船

32÷6=5（条）……2（人）

32-24=8（人）

大船：24÷6=4（条） 小船：8÷4=2（条）

答：大船租4条，小船租2条最便宜。

在上面的解题过程中，判断什么船租金便宜，也有一定的技巧，比如可以计算出大船和小船平均每人乘船的单价，通过比较则能够得出哪种船便宜;在计算这两个单价时，会遇到有余数或者商是小数的情况（小数除法为五年级上册内容），会导致学生无法计算出具体得数，这时候可以考虑另外一种比较的办法。结合生活实际，在人数相同的情况下，用钱最少的更便宜;或者在钱数相同的情况下，能乘坐的越多越便宜。

大船没有坐满进行调整时，也是比较关键的地方，我们可以按照大船逐渐减少1条的办法来进行调整，如果减少一条大船，那么大船里面的6人就要做小船，就有32=6×4+4×2，即32-24=8。

3.鸡兔同笼问题的解题思路有三种：分别是列表法、假设法、抬脚法（即减半法），其中列表法就是列举出鸡和兔可能存在的所有情况，再选出符合题意的一组数据。缺点是当数据较大时，解题过程很繁琐;假设法是假设全是鸡或者全是兔，这时可以算出假设前后的总脚数差，再推算出兔和鸡的只数，假设法解决鸡兔同笼问题时方法固定，并且适用范围广;抬脚法（即减半法），即假设鸡和兔各抬起一半的脚，这时候可以算出鸡和兔脚的数量的一半是多少，再算出减半后脚的数量与头的总数之差，便是兔子的只数。抬脚法计算简便，但是具有一定的局限性，仅适用于鸡兔同笼问题和龟鹤问题等;总体来说，假设法适用的范围更广。

在用假设法解决鸡兔同笼问题时，假设全部是鸡，可以首先算出兔的数量;反之，可以先计算出鸡的数量，然后根据鸡兔的总数分别算出另外一种的数量。

二、算理的迁移拓展和变式题型

以租船问题为典型的问题还有很多，比如春游租车，已知我校共有老师14人，学生326人，大车可坐40人，租金900元，小车可坐20人，租金500元，问题是怎样租车最省钱？解题过程为：

大车40人租金900元，小车40人租金500×2=1000（元），大车租金更便宜，则：

（14+326）÷40=8（辆）……20（人）

340-320=20（人）

大船：320÷40=8（辆） 小船：20÷20=1（辆）

答：大船租8辆，小船租1辆最省钱。

对于鸡兔同笼问题来说，它的拓展比较广。“龟鹤问题”与“鸡兔同笼问题”与其相比也就是换汤不换药，它们的本质是一样的。例如：篮球比赛中，张鹏投了15个球，进了9个，3分线外投中一球记3分，3分线内投中记2分，在比赛中张鹏总共得了21分，如果张鹏没有罚球，他在这场比赛中投进了几个3分球？

假设张鹏投进的都是3分球，则：

9×3=27（分）

27-21=6（分） 2分球少得的分

3-2=1（分） 每个2分球比3分球少得的分

2分球：6÷1=6（个）

3分球：9-6=3（个）

答：他在这场比赛中投进了3个3分球。

再如：三个选手答题，答对一题加10分，答错一题扣6分，3号选手抢答了8题，最后得分64分，她答对了几题？

假设她都答对，则：

8×10=80（分）

80-64=16（分） 答错的题少得的分

10+6=16（分） 答错1题少得的分

答错：16÷16=1（题）

答对：8-1=7（题）

答：她答对了7题。

在这道题中，答对一题和答错一题相差多少分，要注意答错是扣分的，在学过的知识里要用加法。这些问题都可以用“鸡兔同笼问题”中的假设法来进行解决，方便、快捷。抬脚法的局限性也在这里体现了出来。

三、从综合与实践认识数学的价值

有人说：“数学是冰冷的美丽”，数学课一贯的“冰冷”面孔如果不改变，就难以唤起学生的学习热情。^④在此，叶老师提倡“故事教学法”，以唤起学生对学习数学的兴趣，让数学课堂充满韵味，学生也向往着深入探究。这也是综合与实践与学习数学的一条纽带，连接着生活实践与数学知识，你中有我，我中有你;在实践中发现数学知识，并把数学知识运用到实践中。在课堂教学中讲授这两类问题时，要具有启发性、对比性。启发式教学强调教师从学生的知识基础、思想水平、学习方法、接受能力等实际出发，运用各种手段充分调动学生学习的积极性和主动性，引导学生充分展开思维，主动地去获取知识，真正达到发展智力和培养能力的目的。^⑤对比性的教学方式，有助于学生正确区分各知识点的异同，建立探索对比的思维，培养学生探索问题的热情，使学生爱上数学！

注释：

①《义务教育数学课程标准（2011年版）》，北京：北京师范大学出版社，2012年1月第1版，第4页

②《义务教育教科书数学四年级下册》，北京：人民教育出版社，2014年10月第1版，第10页

③《义务教育教科书数学四年级下册》，北京：人民教育出版社，2014年10月第1版，第106页

④《可以这样教数学》，上海：华东师范大学出版社，2012年8月第一版，第200页

⑤《有效备课、上课、听课、评课》，福州：福建教育出版社，2012年8月第4版，第112頁