以等差数列为例分析构造法在高中数学解题中的应用

徐浩

（湖北省广水市育才高中，湖北 广水 432700）

一、构造法对于高中数学中的重要性

高中数学这门学科对于大多数学生来说都是一大难题，高中数学的部分问题运用正常解题思路是难以求解的或者解题步骤极其繁琐。那么，要想有效提升数学正确率，学生需要转变思路，掌握相关解题方法。构造法在数学中的应用相当广泛，简而言之，构造法是满足题意假设的数学模型，最终达到解题的效果。构造法旨在运用非常规的解题方法，将题中的“未知”条件变为“已知”条件。数学的学习讲究数与形的巧妙结合，二者相得益彰、密不可分。构造法可简化高中数学解题过程，通过更直观、通俗的方式将题意展示出来，在解题中巧妙运用数与形相结合的思想。构造法在高中数学解题中较为常见，它不仅可以结合数与形思想解题，向量、函数与方程都可以作为构造法的解题工具，从而帮助学生更加高效地完成解题。

二、构造法在高中数学解题中的应用

构造法对于简化高中数学解题过程意义重大，应用很广泛，适用性也很强，因此，学生应该多加练习此方法，熟练掌握构造法的解题思路和技巧，以便提高解题速率和正确率。常见的构造法主要是构造数列、构造方程等。方程式是我们学生较为熟悉的内容，也是高中数学的重难点内容，几乎涵盖了整个中学阶段的数学教学。通过高中数学题目的归类，很容易发现方程式很少单独出题，往往是和其他数学内容结合出题，这在某种程度上，无疑是加大了解题难度。针对此类题型，可以联想到构造法解题思路，根据题目中已给定的条件，构造等量关系式，分析相关变量，从而简化数学题目，使数学更加具体化，形象化。这种方法的运用，既可以提高学生解题的速度和正确率，加强创新思维能力的锻炼，又可以提升学生的学习兴趣。

例如：“若（p-q）2－4（q－x）（x－p）＝0，证明p，q，x为等差数列”。则会个题目乍一看找不到突破口，无从下手，但是当我们转化思路，采用构造法将题目中的已知条件与结论结合起来看就豁然开朗许多，可构建如下等量关系式：（q－x）＊t2＋（p－q）＊t＋（xp）＝0，假设△＝（p－q）－4（q－x）（x－p），则可得△＝0，那么根据所构建的等量方程式，可得该等式的实数根相等，可得t＝1，所构建等式的实数根p＝q＝1。又根据韦达定理可得出：p＋q＝2x，从而可得出题目中的p，q，x为等差数列成立。这种抽象类型的题目对于大部分学生而言是具有一定难度的，但是如果结合非常规的解题思路便可以简化难题，快速求解。

还有，在解决高中等差数列的问题时，选择构造通项或者前n项和的方法，写出构造出的新数列，再整体取值。这种使抽象转变为形象的方法，增加数列的直观性，有助于提升学生的整体意识。

例如：“已知等差数列{an}，前6 项之和为36，后6 项和为114，前n 项和为375，要求求出该数列的项数”。可利用构造数列的思想进行解题：由已知条件可得出6a+10d+6a+(6n-16)d=12a+(6a-6)d=36+114=150,2a+(n-1)d=25,1/2[2a+(n-1)d]n=375,将2a+(n-1)d=25 代入1/2[2a+(n-1)d]n=375 中，可得n=30。

在实际出题中，函数往往会和方程结合在一起出题。函数和方程是高中数学的重点与难点。函数具有抽象性，它要求学生具有较强的数理分析能力，以及空间思维能力，这本身就是有难度的事情。对于高中的非典型函数题型，学生需要具备针对性的解题思路意识，目的是将抽象的函数问题变得简单直观。因此，在进行高中数学的学习时，需要我们学生具备良好的函数思维，要善于根据题目字面意思进行分析、联想，将函数的构造方法烂熟于心，一旦满足条件即可运用构造法简化解题步骤。

结束语

综上所述，高中是人生发展的关键时期，课程繁多，面临着升大学的压力。传统的教育模式已不再能适应新教改的要求，构造法作为一种良好的解题方法，在提高解题速率和正确率的基础上，也能增强学生的主观能动性。当学生因破解出一道难题而带来兴奋感和成就感，会激发他们对数学学科的兴趣，这对于提高高中数学教育教学质量也发挥着不可或缺的推动作用。高中生面临高考的压力，对于数学学科而言，如果思维能力较好，学起来就会轻松很多。相反，对于思维能力不是那么出众的同学，数学学科的学习就相对比较吃力。因而，掌握良好的解题思路和方法显得尤为重要。构造法在数学解题中较为常见，在数学解题中的应用较为广泛，这种方法的应用不仅能够提高解题速率和正确率，还可以培养学生的创新思维能力，这种创新思维能力的培养更符合新时代教育改革的目标。