出土算术文献复原的新方法：穷举法、特性分析法

衣抚生

（河北经贸大学 发票博物馆，河北 石家庄 050061）

一、问题的提出

出土算术文献，是目前学界研究的热点之一。数字残缺问题，是出土算术类文献整理中的常见问题，对出土算术文献的研究造成了较大的困扰，亟需解决。目前来说，其解决方法主要有：通过红外线扫描，获得更为清晰的图像；结合残余笔画，进行字形分析；采用简单的整数或分数运算，进行推测。本文介绍两种在特定情况下简单有效的新方法，即穷举法、特性分析法。穷举法，即将取值范围内所有的可选项逐一验证，直到验证完毕。这种方法的要求是：可选项必须是有限的。它在分母完整、分子缺失的情况下，简单有效，通常可以极大地缩小范围，甚至是直接得出正确答案。特性分析法，是根据算题的特性，灵活地采取相应的解法。为了简便起见，本文介绍的是一类特殊的特性分析法——乘数因子包含大素数的特性分析法。

本文以《算数书》“大广”算题为例，来介绍这两种方法。当然，笔者关注的不是“大广”算题本身，而只是将其作为介绍穷举法和特性分析法的一个例子。“大广”算题的内容如下：

大广广七步卌九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□为□六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三。大广术曰：直（置）广从（纵）而各以其分母乘其上全步，令分子从之，令相乘也为实，有（又）各令分母相乘为法，如法得一步，不盈步以法命之。[1]（156）

该算题残缺数字较多，其复原工作也就成了非常有趣的智力游戏。郭书春[2]（217-218）、郭世荣[3]（284）、王元钧[4]等先生都对该算题有过研究，不过他们的研究均修改了已知条件。要知道，已知条件是我们进行推论的基础，这个基础如果不存在，可以进行随意修改，那么本算题就根本无法进行校正。因此，我们坚持不改动已知条件，对这些研究也就置而不论。纪志刚先生的观点值得引起重视——他是第一个尝试用穷举法来解决该问题的学者。纪先生通过计算机程序，得到11种可能性，经过排除，留下两种组合，分别是：

广七步四十九分步之七，从九步十四分步之一。问为田几何。得曰：为田六十四步又三百四十三分步之二百七十三。

广七步四十九分步之卌二，从八步╪七分步之十九。问为田几何。得曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。[5]（233）

纪先生通过计算机寻找各种可能性，尝试了很多种情况，其结论具有较强的说服力，但是不完全准确，论证过程也存在缺憾：

第一，纪先生的排除方法有错误。纪先生计算出来的“从”全部都是最简分数，没有注意到“从”可以不是最简分数。以纪先生的计算结果来说，两种组合的“广”都不是最简分数，他却要求“从”必须是最简分数，并据此进行排除。这是难以说服人的。比如，被排除了，理由是分母3不是7的倍数。其实，我们完全可以把该分数变成非最简分数8—，这样就可以满足条件了。

第二，纪先生假定B2的值为“1-343之间”。这个假定是不合理的，B2为什么就不能大于343？B2完全可以大于343，经过约分后，让结果的分母变成343。当然，纪先生这么做是有苦衷的：倘若不限制B2的大小，那么这道算题就需要尝试无数种可能性，也就无从计算了。因此，纪先生只能人为设定一个最大值，从而将无数种可能性变为有限种可能性。这恰恰说明纪先生的算法有问题，存在较大的局限性，无法做根本上的解决。

第三，纪先生的计算过程太繁琐。尝试的排列组合达到（1+2+3+……+342）×48×2＝5,630,688种之多！（计算方法为：组合需要尝试的次数×A需要尝试的次数×B需要尝试的次数）。而且，这种方法虽然给出了答案，但是没有严密的计算方法，也看不到计算过程，这不能不说是一个遗憾。

总之，纪先生的计算方法不是很完美，存在这样或那样的问题，却是很有价值的，原因在于，这种计算方法实际上已经具备了穷举法的雏形，值得重视。

在正式介绍穷举法和特性分析法之前，我们首先讨论这道题目的两个限制条件。限制条件1：我们可以根据缺失的字数，大体推断出A、B1、B2所占的字数。按照《算数书》和秦汉数学材料的表述规范，我们可以给“大广”算题补充一些文字（用加黑字体标识）：“大广广七步卌九分步之□□从八（或“九”）步□□分步之□问为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三。”其中，“问”字可以省略，《算数书》公布答案的句式有“曰”和“得曰”两种，也就是说，A、B1、B2的字数加起来是4（“得曰”）到6（省略“问”字）个字之间。限制条件2：我们注意到，计算结果343可以化为49×7，而被乘数的分母是49，这表明7这个因子应该来自B2。如果上述8组数据的B2不能整除7，需要将B1、B2都乘以7。

二、穷举法

下面，我们来介绍前文所提到的穷举法。穷举法是最简单、最直观的方法，我们不需要像纪先生那样同时考虑A、B、B1、B2的值，把简单问题复杂化。实际上，我们只需要根据1≦A≦48这一限制条件，尝试A的48种可能性（从1到48），就可以根据，算出相应的B、B1、B2的值——我们将所得结果化为带整数的分数，整数部分即为B，分数部分的最简形式，其分母即为B2，分子即为B1（当然，我们可以根据需要进行调整，使之成为非最简形式）。例如，我们可以尝试A为3的情况，，因此，B＝9，B2＝346，B1＝61。以此类推，只需要尝试48次，就可以得到所有的结果。由于这个结果较为繁琐，而且容易获得，这里就不详细论述了。

（1）广七步卌九分步之七，从九步十四分步之一。问为田几何。得曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（2）广七步卌九分步之卅二，从八步百五分步之卌九。为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（3）广七步卌九分步之卅八，从八步廿一分步之七。问为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（4）广七步卌九分步之卌二，从八步╪七分步之十九。为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

通过这道算题，我们可以看出：穷举法有可能会成为解决这一类问题的通用方法——如果一个分数的分母是完整的，分子有残缺，就可能将分子的取值限定在一个较小的范围内，配合以其他限制条件，或许会很容易得到几组最优解。退一步讲，就算分母也残缺，只要没有完全残缺，还是可以用枚举法。比如，如果本算题被乘数的分母“49”残缺了一个数字，我们就完全可以假定该数字为从0～9的数字，进行带入计算。其计算步骤依然是有限的，并且涵盖了所有的可能性。因此，在分母齐全或者部分残缺并知道残缺的位数的情况下，穷举法是具有较大价值的推导方法。

三、特性分析法

特性分析法是指先寻找该算题的特性，再根据这些特性，尽量缩减可能性和计算范围。如前所述，本算题采取的实际上是乘数因子包含大素数的特性分析法（主要体现在下文的“性质3”中）。我们将等式化为假分数的形式，可以得到方程。采用特性分析法的计算过程如下：

性质2：限制条件2可表述为B2=7m（m是正整数）。在计算的过程中，m被当成公因子消去了，所以没有显示在结果的分母值343中。

性质3：我们发现结果的分子里有一个大素数127，这可以为我们的计算提供很大的方便。通过分析方程1可知，343+A和B×B2+B1这两者之中，至少有一个能整除127，因此本题可以化解为两个部分：343+A能整除127；B×B2+B1能整除127。所有的可能解均在这其中。

（一）343＋A能整除127

由于1≦A≦48，343+A的取值范围是[343，391]，其中能被127整除的只有381，此时A=38。由可知，？的最简分数形式是，参考性质2可知，该分数应变成。

（二）B×B2＋B1能整除127

即：B×7m+B1=127d，其中m、d均为正整数，0＜B1＜7m，B=8或9。我们可以分成如下两种情况进行讨论：

1.B=9，即9×7m+B1=127d，变形得：B1=127d-9×7m。由于0＜B1＜7m，可得：0＜127d-9×7m＜7m，变形可得：，即1.81d＜m＜2.02d，m=2d。将其代入方程，可得：B1=127d-9×7m=127d-9×7×2d=d。因此，乘数是，被乘数是。

2.B=8，即：8×7m+B1=127d（方程2）变形得：B1=127d-8×7m。由于0＜B1＜7m，可得，即2.02d＜m＜2.27d，只有当的整数部分不一样时，整数m才可能存在。由此可知，d≧4。当d≧7时，B2将是三位数，字数超出限制，不符合要求。因此，d的值只能取4、5、6、7之一。其中存在两个可能解，即：。

至此，我们就会得到该算题的全部四种可能解，即：如果343+A能整除127，那么对应的解为：，如果B×B2+B1能整除127，且B=9，那么对应的解为：，如果B×B2+B1能整除127，且B=8，那么对应的解是：。相关的文字已经在上文表述过了，这里不再赘述。

四、结语

可以看到，上述两种计算方法适用的情况不一样：在分母完整（或者是部分残缺，且明确知道残缺了多少位）、分子残缺的情况下，穷举法较为简单有效，只需要将分子按照从1到分母减1的顺序，逐个带入即可；而在数字存在某些特性，尤其是存在大素数乘数因子的情况下，特性分析法较为简单有效。在明确等式两边都有该大素数因子的前提下，通过查找该大素数因子所在的位置，可以将计算简化为几种情况，也就是说，这两种方法都是针对特定情况的有效方法。数学是出土算术类文献的核心要素，应提高数学运算在出土算术类文献整理和研究中的比例。