求数列通项公式的两个技巧

李俊

在学习数列时，我们经常会遇到一些不能直接利用公式来求解的数列通项公式问题.这类问题的题型变化多样，解题的思路也有很多种.同学们想要快速解答这类问题，就要熟练掌握求数列通项公式的一些常用方法.这里给大家介绍两种常用的方法：累加法和累乘法.

一、累加

有些问题中会出现形如an+1-an=f（n）或an-an-1=f（n）的递推式，此时我们可以采用累加法来求数列的通项公式.在解题时，需将n =1，2，3，…，n时的式子一一罗列，然后累加，通過化简便可求得数列的通项公式.

例1.已知数列{an}满足2an+1=2an+3n+l，且a1=l，求数列{an}的通项公式.

解：由题意可得，

所以

将上述式子相加可得：

整理得：

解答本题主要运用了累加法，将n-1个式子累加，便将问题转化为求数列和问题，只需运用等比数列的前n项和公式进行计算，就可得到数列{an}的通项公式.在解题时，同学们要注意关注首尾两项与n之间的关系.

二、累乘

累乘法适用于解答递推式形如

或

问题.在求数列的通项公式时，我们同样需将n=1，2，3，…，n时的式子一一罗列，然后累乘，将左边的式子与左边的式子相乘，右边的式子与右边的式子相乘，通过化简就能求得an的表达式.同学们要注意先确定好首项，这样才能确保得到正确的结果.

例2.若数列{an}满足

且a1=l，求数列{an}的通项公式.

解：由题意可得

将上述式子累乘可得

本题较为简单，我们直接列出n-1个式子，将它们累乘，便可求得数列的通项公式.因为递推式中含有an+l，所以这里只能将n-1个式子累乘.

例3.已知数列{an}中，a1=l，an+1=2nan，求数列的通项公式an.

解：由题意可得，

则

将上述式子累乘可得an=

所以an=

在求数列的通项公式时，若 ，且f （n）的前n项积可求，可以直接利用累乘法求解.

这两种方法及其解题过程都较为相似，区别在于一种是通过累加，另外一种是通过累乘来求得数列的通项公式.在解题时，同学们要注意观察数列的递推式，形成合理变形，构造an-an-1=f（n）或

的形式，然后运用累加或者累乘法进行求解.

（作者单位：云南省红河州第一中学）