由一道题谈解答解析几何中夹角问题的思路

朱静 肖润军

解析几何是高考中的重要考点.解析几何问题的命题方式有很多，如判断直线与圆锥曲线之间的位置关系、求曲线的离心率、求参数的取值范围、求夹角的取值范围等.其中求夹角的取值范围或证明夹角相等问题主要考查网锥曲线的定义、简单的几何性质、直线的斜率、倾斜角以及直线与圆锥曲线之间的位置关系，属于综合性较强的问题.本文以2021年八省联考试题巾的一道解析几何问题为例，着重探讨解答解析几何中夹角问题的思路.

例题：如图，双曲线

a>0，b>o）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时.IAFI= IBFI.

（l）求C的离心率;

（2）若B在第一象限，证明：∠BFA= 2∠BAF.

分析：第一个问题较为简单，我们只需根据双曲线的方程分别求出A、F、B的坐标以及IAFI、IBFI，建立（a、b、c的关系式，结合双曲线中关于a、b、c的关系式b2= C2一a2以及离心率公式e=

，便可求得曲线C的离心率.本文主要探讨第二个问题.由图可知，△ABF为焦点三角形，而∠BFA、∠BAF成二倍关系，因此解答本题的思路有很多，如利用直线的斜率公式、平面向量的数量积公式、正余弦定理、三角形的角平分线的性质与定理、圆锥曲线的参数方程等求解.

思路一：利用直线的斜率公式

对于圆锥曲线巾的夹角问题，我们首先会想到运用直线的斜率公式进行求解.在解题时，需先分别求出构成夹角的两条直线上的点坐标，然后利用直线的斜率公式分别求出各条直线的斜率，再利用公式k=lana求出a，即倾斜角的值.

证明：由题意知，A（-a，0），F（c，0），设曲线C上动点B（x1，Y1）（X1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

贝y1 2= 3（X2一a2），|FB|= 2x1-a，

当BF⊥AF时，∠BFA= 2∠BAF= 90°，

当BF， AF不垂直时，tan ∠BAF

又∠_BAF，∠BFA为△ABF的内角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

在运用直线的斜率公式解题时，要注意讨论斜率存在与不存在，即倾斜角为90°和不为90°的情况.运用分类讨论思想能有效地帮助我们理清解题的思路，提高解题的正确率.

思路二：利用平面向量的数量积公式

平面向量的数量积公式为a ·b=|a||b|cos θ，将该公式进行适当的变形即可得到两个向量a、b的夹角cosθ=

若a=（x1.y1），b=（x2，y2），θ=，则cosθ

在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们可以首先给夹角两边的线段赋予方向，求出其向量或向量坐标，然后利用平面向量的数量积公式来求其夹角.

证明：由题意知，A（-a，0），F（c，0），设曲线C上动点B（x1，y1）（x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

贝Y1 2= 3（X2一a2），|FB|= 2x1-a，

AB2=（x1+ a）2 +y2= 4xl+ 2ax1一2a2，

则

所以∠BFA= 2∠BAF. 这里由夹角联想到平面向量的数量积公式，在求出各个向量的坐标后，运用平面向量的数量积公式求得∠BAF、∠BFA的表达式，借助余弦的二倍角公式证明结论.

思路三：利用正余弦定理

正余弦定理是解答三角形问题的重要工具.在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们要首先要构造三角形，求出三角形的两条边和一个角，然后运用正弦定理

求出所求角的大小;或者求出三角形的三条边，然后运用余弦定理a2= b2+ C2—2bccosA、b2=a2+ C2-2acCosB、C2= a2+62—2abcos C来求其夹角.

证明：由题意知，A（-a，0），F（c，0），设曲线C上动点B（x1，Y1）（X1>a），

由（1）知

即c=2a，则y12= 3（x1 2 - a2），|FB| =2x， -a，AB2=（x1+ a）2 +y12= 4x1+ 2ax1 - 2a2，

在△ABF中，由正弦定理知

sin∠BFA：AB：

sin ∠BAF

又因为∠BAF，∠BFA为△ABF的内角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

解答本题需首先求出AB、F以及cos∠BAF的表达式，然后借助正弦定理以及二倍角公式来证明结论.

思路四：利用三角形的角平分线的性质与定理

三角形的角平分线的性质是：角平分线上的点到角两边的距离相等.常用的三角形的角平分线定理是：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.当题目中出现某个角的半角或者二倍角时，我们可以作出三角形的角平分线，寻找角平分线上的点到角两边的距离、平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应的比例，然后利用三角形的角平行线的性质、定理来解题.

证明：作∠BFA的角平分线FC，交AB于点C，

由三角形的角平分线定理知

所以BC=，

由题意知A（-a，0），F（c，0），设曲线C上动点B（x1，y1）（x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

则y1 2= 3（x1 2- a2），|FB|= 2x1-a，

AB2 =（x1+ a）2 +y1 2= 4x1+ 2ax， - 2a2，

所以FB2_BC.AB=FB.

故FB2 =BC·AB，

因為∠FBC= ∠ABF，所以AFBC∽AABF，

所以∠AAF= ∠BFC=

∠BFA，即∠BFA= 2∠BAF.

运用此方法解题要求同学们熟练掌握三角形的角平分线定理及相似三角形的知识.

思路五：利用圆锥曲线的参数方程

每个曲线都有与其对应的参数方程，如过点M（X0，y0），倾斜角为a的直线l的参数方程为参数方程为

（Φ为参数）;双曲线的参数方程为

（Φ为参数）;等等.在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们可以用曲线的参数方程将曲线上的点表示出来，再将其代入直线的斜率公式中进行求解、化简，便能快速求出夹角.

证明：由题意知A（-a，0），F（c，0），设曲线C上动点B（x1，y1）x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，b=，

设曲线c上动点B

= tan ∠BFA，

又因为∠BAF，∠BFA为△ABF的内角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

运用圆锥曲线的参数方程解题，要求同学们熟练掌握圆锥曲线的参数方程及三角恒等变换的技巧.在解题时，同学们要注意讨论参数的取值范围.因为参数的取值直接影响着曲线的方程以及夹角的取值.

圆锥曲线中的夹角问题较为复杂，但是我们如果从不同的角度进行思考、联想，就可以找到多种不同的解题思路.在解答网锥曲线巾的夹角问题时，同学们要注意运用发散思维展开联想，将向量、平面几何、解析几何、解三角形等知识融会贯通，灵活运用数学思想方法，这样才能有效地优化解题的方案.

（作者单位：湖南省怀化市铁路第一中学）