常见的与椭圆有关的问题及其解法

王道峰

椭圆是三大圆锥曲线之一，具有明显的几何特征.与椭圆有关的问题有很多，如求椭圆的方程、求椭圆的离心率、判断直线与椭圆的位置关系、求椭圆中三角形的面积、求参数的取值范围等.与椭圆有关的问题主要考查椭圆的定义、标准方程、简单几何性质等.在这里，笔者总结了几类常见的与椭圆有关的问题及其解法，以帮助同学们总结知识、归纳方法.

一、求椭圆的方程

求椭圆的方程是一类基础题目，主要考查椭圆的定义以及方程中a、b、c之间的关系.在解题时，我们需要从题目中提取信息，将其与椭圆的定义关联，建立动点与焦点之间的关系式，灵活运用a、b、c之间的关系式a2=b2+ C2来求出（z、6的值.

例1.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭网G的方程为（

）.

解：依题意可设椭圆G的方程为

+

=1a>6>0），

椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，

2 a =12，

a=6，

椭圆的离心率为

e=

，解的b2 =9，

椭圆G的方程为

+

=1.

这里直接利用椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的點的轨迹叫做椭圆，建立关系式，求得a的值，然后根据椭圆的离心率求得6的值，进而求得椭圆的方程.

二、求椭圆的离心率或取值范围

我们知道，椭圆的离心率为e=

，只要求出a，c或

的值，便可得到椭圆的离心率或取值范围.常见的求解方法有三种：一是结合题意建立方程，解方程求出a、c的值;二是根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e;三是利用圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比等于e，求得e的值或者范围.

例2.椭圆

=1（a>b>0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭网的离心率为____.

解：椭圆的顶点为A（-a，0），B（a，0），焦点为F1（-c，O），F2（C，0），

所以AF1=a-c，F1B=a+c，F1F2= 2c.

因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，

所以4c2=（a -c）（a+c）=a2 -C2，即5 c2= a2，

所以a=

c，

所以离心率为e=

，

我们首先用a，c表示出AF1，F1B，依据已知条件建立a1，c的关系式，进而求出

的值.在求椭圆的离心率时，我们还要注意e的取值范围为O

三、椭圆与直线问题

椭圆与直线问题有很多种，如判断直线与椭圆的位置关系、求椭圆中的弦长、中点弦问题、对称问题等.解答椭网与直线问题一般需将直线方程与曲线方程联立，消去y（或x）得到一个关于x（或y）的一元二次方程，然后利用判别式“△”、弦长公式、韦达定理来解答问题.

例3.已知椭圆

+y2=1.

（1）当m为何值时，直线y=x+m与椭圆有两个不同的交点？

（2）当m=2时，求直线被椭网截得的线段长，

解：（1）联立方程

+y2=1，消去y得5x2+ 8mx+4（m2—1）=0.

A= 64m2—80（m2—1）>0，

所以-

，

即当

时直线与椭圆有两个不同交点.

（2）当m=2时，方程为5x2+l6x+12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理得

，

又k=l，所以AB=

.

解答本题的主要思路是联立直线与椭圆的方程，消去y得到一元二次方程，根据判别式以及根与系数的关系，利用弦长公式求得弦长.

总之，与椭圆有关的问题既有基础题目，又有试卷巾的压轴题目.要顺利解答与椭圆有关的问题，我们需要熟练掌握与椭圆有关的基本知识，还要熟悉一些常见的数学思想方法，如方程思想、数形结合思想、设而不求思想、转化思想等，将其灵活地应用于解题当中.

（作者单位：江苏省滨海县东元高级中学）