多角度破解圆锥曲线非对称问题

于 洋

(江苏省南京师范大学附属中学 210003)

在解决高中数学圆锥曲线问题的过程中，学生经常会遇到一类问题，将问题表征为数学代数结构式之后，利用韦达定理不能直接代入，从而导致学生无法解决此问题.本文以下面问题为例，总结了五种解决圆锥曲线非对称问题的策略.

一、问题呈现

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P(0,1)，A,B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于点E，连接EP并延长交椭圆于点F，记直线BF的斜率为k2，若k1=3k2，求直线EF的方程.

二、问题聚焦

又因为y1=kx1+1，y2=kx2+1,

所以(kx1+1)(x2-2)=3(kx2+1)(x1+2).

化简,得2kx1x2+(2k+3)x1+(6k-1)x2+8=0.

①

此时，许多同学面对①式束手无策，因为由韦达定理得到x1+x2，x1x2无法直接代入①式.如果x1前面的系数和x2前面的系数相等，则能够顺利代入韦达定理，问题迎刃而解，所以我们把这类x1前面的系数和x2前面的系数不相等的情况称之为圆锥曲线的“非对称问题”.

三、多角度解决问题

角度1 借助求根公式，突破运算障碍.

所以直线EF的方程为y=x+1.

角度2 发掘对象关系，降低运算难度.

角度3 结合二级结论，构造对称结构.

即6(kx1+1)(kx2+1)=-(x1-2)(x2-2).

化简,得(6k2+1)x1x2+(6k-2)(x1+x2)+10=0.

角度4 利用曲线方程，突破思维定式.

②

因为E(x1,y1)，F(x2,y2)在椭圆上，

③

所以直线EF的方程为y=x+1.

反思在解决直线与椭圆的位置关系中，我们往往借助直线方程进行消元，忽视了椭圆方程也可以起到消元的作用.通过化简发现这种方法也实现了将非对称结构转化为对称结构，从而能够使用韦达定理快速求解，突破了学生固有的解题认知.

角度5 算思深度融合，做实解题过程.

在问题的解决过程中，我们要重视学生的思路，顺势而为，在学生的最近发展区帮助学生进一步思考与运算，破解圆锥曲线的非对称问题.