斜率之和为定值直线过定点问题的解法探究和推广

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

定点、定值问题是圆锥曲线中常考的问题，尤其是两直线的斜率之和为定值证明直线过定点问题在高考中经常出现，这类问题充分考查了直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养，其解法较多，不同解法对运算能力要求不一样，因此有必要系统地研究此类问题的解法.

一、题目呈现

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过点P2且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率和为-1，证明：l过定点.

二、题目探究

1.第(1)问解析

2.第(2)问解析

点评设动直线AB的方程，然后利用韦达定理设而不求是解决此类问题最常见的方法.

点评点P2在椭圆上，因此设直线P2A,P2B的方程,然后与椭圆方程联立,将A,B两点的坐标设而求之也是一个重要的方法，但是本题中对于直线AB方程的变形是难点，相比解法1，运算量更大一些！

即x2+(4+8B)(y-1)2+8Ax(y-1)=0.

点评对于问题：设点P(x0,y0)为圆锥曲线mx2+ny2=1上一点，不过点P的直线与圆锥曲线mx2+ny2=1交于A,B两点，则直线PA,PB的斜率之和、斜率之积为定值.

我们可以采取如下的齐次化方法求解：

由题意,直线PA,PB的斜率为该方程的两根，再利用韦达定理可顺利求解此类问题.

(2)本题的思路就是将曲线系方程表示成曲线在点P2处的切线方程和直线AB的方程乘积的形式，从而得到直线AB的方程，这种做法操作方便，目标明确，运算量不大，它可以方便处理两直线斜率和、积为定值的情形.

点评通过联立直线得到点A,B的坐标，然后将坐标代入椭圆方程构造出关于kP2A,kP2B的同构方程，这种做法便于推广到一般情形，值得我们学习！

两式相减,得2(y2-y1)+x2-x1=x1y2-x2y1.

又x1y2-x2y1=x1y2-x1y1+x1y1-x2y1=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1，于是(y2-y1)(2-x1)=(x2-x1)(-1-y1)，可见直线AB过定点(2,-1).

以上解法1和解法2虽然是通法，但是计算量较大，不便于推广到一般情形，解法6虽然很巧妙，但是变量较多，不容易变形和观察，解法3、解法4和解法5更具有一般性，便于推广，下面我们利用解法4将上述结果推广到一般情形.

三、题目推广

数学思维就是在一次次的解题过程中不断钻研和总结中不断提升的，通过一题多解、多题归一和一题多变等变式教学和训练的手段达到我们的目的.