多视角赏析一道高考题

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

一、题目呈现

(1)求C的方程；

二、试题解答

以下重点探讨第(2)问.

分析1 利用直线的点斜式方程将两条直线分别表示出来，再将两条直线分别与双曲线方程联立，结合韦达定理表示|TA|·|TB|和|TP|·|TQ|，通过系列运算，消元得解.

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

即k1+k2=0.

评注解法1利用直线的点斜式方程求解，利用弦长公式表达对应线段长度，结合位置关系判断相关量的正负，避免讨论.

分析2 直线的参数方程中参数t能表达长度，本问题中牵涉到4个有关联的长度.因此我们可以引入直线参数方程，理顺相关长度与t的关系，再利用整体处理的技巧消元得到两直线斜率关系.

由参数t的几何意义,得

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

整理，得cos2α=cos2β.又α≠β，所以cosα=-cosβ，即α+β=π.所以tanα+tanβ=0.所以k1+k2=0.

评注解法2是利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，此解法非常简捷.只要正确掌握t的几何意义，就能快速准确地用α将|TA|·|TB|表示出来，再利用替换法则，同理可求|TP|·|TQ|.由于引入了三角，明显比解法1运算量小，但需要把直线参数方程学通悟透.

分析3 由题设|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|联想到A,B,P,Q四点共圆，进一步利用二次曲线系方程表达圆的条件建立两直线斜率关系式，整体运算，快速得解.

(*)

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，所以A,B,P,Q四点共圆.于是(*)式表示一个圆，因此xy项的系数为0.

将(*)式化简整理可得xy的系数为-k1-k2，于是-k1-k2=0，所以k1+k2=0.

评注解法3利用二次曲线系求解，此解法非常简单.教材中虽没有明确提出，但在直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线的位置关系的习题中都蕴含着这种思想，学生可以拓展知识体系，增加所学知识的广度和深度.不难发现三种解法中，解法1最麻烦，解法3最便捷.因此拓展学习很有必要，思维训练很关键，思维简化了运算，这正是数学的重要功能：培养人的理性思维.

三、追根溯源

(人教A版数学4-4“坐标系与参数方程”第38页例4) 已知AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2.求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

分析与课本上的例题4进行对比，本高考题实质上就是互换条件和结论，而且课本上的例题更具有一般性，现利用直线的参数方程简证如下：

评注这是一道具有一般意义的直线与椭圆的分点弦问题，利用直线参数方程容易证明.如果把椭圆换成双曲线，就是本次新高考问题条件和结论互换后的一般问题，结论也是正确的！

四、解后反思

高考命题专家命制高考试题时都是以教材为蓝本，并适度创新，以考查学生的能力和素养.课本是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据，理应成为高考数学试题的源头.