一道压轴小题的巧解浅议圆锥曲线离心率的常见求法

杜海洋

(四川省成都经济技术开发区实验中学校 610100)

一、试题呈现

二、试题解析

分析本题根据角平分线性质列比例式求出PF1,PF2的比例关系，从而建立a,b,c的关系.实质上,本题可改求离心率，其本质一样.

点评本题的解答关键是根据角平分线性质列比例式求出焦半径的比值关系，再利用焦半径与长半轴或到焦点最短距离的关系建立不等式，此法起到“秒杀”效果，凸显数形结合的解题功效.

点评此法与方法2本质一样，主要利用椭圆上点到两焦点的距离差建立不等式，而不用两焦点的距离和2a>2c(恒成立),相反，双曲线则利用到两焦点距离和而不是差.

点评此法在于建立以动点的某一坐标为函数，再利用坐标的取值范围建立不等式求解，此思路也是求解这类问题的通用解法.

点评方法5与方法4的区别在于建立以线段长度为变量，再利用长度取值范围建立不等式求解.

点评由角平分线建立线段比值，由点的轨迹方程可得点P的轨迹为圆(阿波罗尼斯圆)，再利用两图象有公共交点建立不等式求解，此法要留意圆心与焦点的位置关系，弄清为什么右顶点到圆心的距离为最短是本法的难点.

三、试题变式

分析根据角平分线性质列比例式求出点M的横坐标m的范围，再计算|MB1|+|MB2|的范围.

所以F1(-1,0)，F2(1,0)，B1(0,-1)，B2(0,1).

分析画出图形，延长PF2，F1M交于点N，则△PF1N为等腰三角形，点M为F1N的中点，利用中位线的性质以及椭圆的定义结合图形即可求解.

总之，求解离心率的范围，重要的是根据几何关系或代数关系建立关于a,b或a,c的等式，再进一步求出离心率.构建等式的常用方法有：

(1)利用圆锥曲线定义；

(2)利用几何关系；

(3)利用点在曲线上.

离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强，方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件构造不等式.求离心率的取值范围时要根据题意，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，尤其记住圆锥曲线的一些“二级结论”，在选填题中可以起到“秒杀”作用，从而快速求出离心率的取值范围.