一个双曲线选择题的拓展思考

许银伙

(福建省泉州外国语中学 362000)

解决直线与圆锥曲线位置关系几乎都要用到韦达定理，因为它可以有效减少运算量，体现设而不求的方法，其运用技巧是解析几何压轴问题常见的关卡设置.本文通过拓展，研究当联立直线与圆锥曲线方程后，所求式子中含有x1+x2，x1x2，mx1+nx2(m≠n)或同类型含y1,y2的分式时，如何运用韦达定理通过变形求出定值.

一、试题呈现

二、问题解决

三、拓展思考

思考1 本题作为选择题，只要考虑特殊情况，可以轻易获得正确答案，但其知识内涵没有得到充分地考查和挖掘，很是浪费.如果改为解答题，比如探索kAP∶kBQ是否为定值呢？

所以(d+3)(y2-3y1)=0，解得d=-3.

思考2 如果问题改成通常的双曲线方程，可以获得一般性的结论吗？

评注(1)本题还可以通过把y1写成(y1+y2)-y2或者把y2写成(y1+y2)-y1，然后将韦达定理代入，得到结论.

评注题中点E(m,0)(m≠0)如果换成点E(0,m)(m≠0)，其余条件不变，将无法获得定值.

思考3 如果问题改成相应的椭圆方程，可以获得类似的结论吗？