浅析立体几何中的轨迹问题

贾增福

(广东省佛山市顺德区华侨中学 528333)

一、试题呈现

A.当λ=1时，△AB1P的周长为定值

B.当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值

解析取特殊点判断.

评注本题也可以用建系的方法解决.本题以正三棱柱为载体，考查了空间中的动点轨迹与线面位置关系，学生通过取特殊值判断或是通过常规方法建立坐标系，可以将问题很好地进行转化.

二、立体几何中简单的轨迹问题探究

1.探究空间中动点轨迹的长度

图1

评注本题考查了直棱柱的结构特征、直线与平面垂直的判定、扇形中的弧长公式等，以此来考查学生的能力.

图2

2.探究与动点轨迹相关的最值问题

例2 如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是( ).

图3

评注本题考查空间中直线与直线之间的夹角等.由题意画出图形，可得点P的轨迹，从而实现了问题的解决，考查了学生的空间想象、数学运算及逻辑推理等能力.

变式如图4，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，则tanθ的最大值为( ).

图4 图5

评注本题通过空间直角坐标系，探究了空间中的动点轨迹，体现了空间向量在立体几何中的工具性作用，考查了空间想象能力和数学运算能力，同时体现了函数与方程及转化与化归等数学思想.

本文通过具体实例，简单探究了立体几何中常见的动点问题，并对相关的数学方法进行了简单分析，旨在通过此类问题的探究，可以更好地引导学生加强对立体几何的学习，并让学生在学习中，学会归纳、总结，提高综合素质.