高中数学解题中应用构造法的总结

刘晓妮

(江苏省无锡市第一中学 214041)

想要让学生灵活使用构造法，必须采取科学训练方式.学生不仅要扎实掌握基础知识，还要善于分析题目，根据固定方式，经过有限步骤来解决问题.许多学生习惯于遵循正向方式解题，从已知条件推理出未知条件，而后逐渐解决问题.但是，高中数学中的一些问题有着较强的灵活性，学生必须转变思考角度和方向才能有效解题，构造法就是一种创新解题手段.

一、观察是使用构造法的基础

对于构造性题目，指导学生“多看多练”，使其提升自身观察能力.在习题课和平时教学中渗透这类题目，例如：根据直线方程观察这条直线是否过某一点，结合函数图象观察目标函数的特点.构造法的关键在于构造，观察则是使用构造法的第一步.

例1请证明不等式logx(x+y)>logx+z(x+y+z),x>1,y，z>0.

分析此题是关于对数函数的不等式.分析这个不等式的两边，会发现两边的结构存在一定关系.两边都属于对数函数，那么需要从对数函数的特点着手，分别对真数和底数进行观察，进而得出如下结论：不等式两边的真数比底数多出一个y.构造函数f(t)=logt(t+y)，进一步分析，多出的这个y有什么作用，这一步采用了构造法.只需要接着证明f(x)>f(x+z)就能证明以上的不等式，也就是说，需要证明f(t)是减函数.

在分析题目时，首先使用直接构造的方式，也就是直接构造反例或者符合题目条件的数学对象来论证，进行存在性证明.如果发现题干中有“存在”和“有一个”，那么往往能使用直接构造法.如果采用常规构造模式难以解题，过渡并不顺利，那么需要分析观察数量特征、结论和条件，构造新的数学对象，这属于间接构造法，使用A对象来辅助解决B问题.

二、通过联想发展构造能力

一些学生的联想能力不强，在构想方法、模型、图形、式子时，难以顺利构造和设计，这是影响学生构造能力的主要因素.在使用构造法解决高中数学题目时，仅仅依靠观察无法达到目的，还需要具备一定的想象力，教师可以用以下的题目培养构造能力.

图1

三、构建完善的数学知识结构

如果学生的数学知识体系不完善，那么会被知识体系限制，难以跳出自己的思维框架进行构造，在这种状态下难以摆脱对数学题的负面情绪.在具备扎实的数学基础和完善的知识体系前提下，才能进行构造和联想.

学生在掌握复数、导数、不等式、数列、三角函数、算法和平面几何知识之后，形成了关于高中函数知识的知识网，在解决这个题目时，快速搜索必要信息，进行合理构造，快速解决问题.

四、利用生活知识构造数学模型

在高中数学解题教学中引入生活化题目，引导学生探索和观察生活中的数学现象，分析数量关系和空间形式，结合生活经验构建数学模型.采用这种方式，能让问题更加通俗易懂.

例4 一个班级去野炊，大家围坐在一起，如果相邻的学生性别相同，那么在中间放一个青苹果，如果相邻的学生性别不同，那么在中间放一个砂糖橘.在活动中大家发现，砂糖橘和青苹果的个数相同，证明这个班级男女的总数量必然是4的倍数.

分析想要确定放砂糖橘还是苹果，要分析两边学生的性别，性别属于不同元素，可以使用希腊字母、阿拉伯数字、英文字母表示.在构造之前，首先选择合适的符号代替学生的性别，使用正负来代表男女最方便，女生是-1，男生是+1，而后分析题干相关属性和数理结构.

证明女生是-1，男生是+1，那么需要在(-1)(-1)或者(+1)(+1)之间摆放苹果.如果是(-1)(+1)或者(+1)(-1)就需要摆放砂糖橘.进一步分析，如果两数的乘积是-1，那么需要摆放砂糖橘，如果是+1，那么需要摆放青苹果.这个问题进一步转变成排列问题：a1,a2,a3，…,an是一个排列，它们都是-1或者+1，如果a1a2+a2a3+…+ana1=0，那么n的数值必然是4的倍数.

这个数列是从a1开始的，假设从a1开始，那么经过a4,a5,a6，…,an，再次回到第一个a1，符号变化的次数必然是偶数，得出a1=(-1)2k×a1，也就是说：a1a2+a2a3+…+ana1这个数列中，-1的个数是2k，是一个偶数，+1的个数是2k，因此-1以及+1的总数是4k，4k=n，可以得出这个班级学生的总人数是4的倍数.

证明过程中使用了构造法，借助数学模型解决问题，在构造模型的基础上，解释题目中的数量关系和条件.对于高中数学中的组合问题、操作变换问题，利用这种方法都能发掘隐含元素，用模型巧妙解题.

新课标背景下，教师要重视构造法教学，培养学生的构造能力.本文全面分析了构造法的应用技巧，总结了具体解题思路.应用构造法，有利于锻炼学生的思维，在设置高中数学训练题时，可以构造复数、数列、不等式、数学模型、反例、图形、方程、函数等，用这些辅助对象解题.