椭圆中的斜率定值问题研究

谢贤祖

(华南师大附中汕尾学校 516600)

圆锥曲线题型多样，结论众多，下面笔者先提供常见结论1和结论2，再设计一系列题组，通过例题的分析与变式，总结解决问题的通性通法，希望对高三复习备考有所帮助.限于篇幅，对于一些比较容易的例题，只提供思路，留给读者自己研究，详细解答略.

一、证明斜率之积(比)为定值

①

总结通过以上例题可以发现，只要已知条件符合结论1和结论2的使用前提，我们便可以利用这两个结论为我们解题“探路”，但并不是所有的斜率定值题型都可以套用结论，下面看难度更大的例4.

二、由斜率之积(和)为定值，证直线过定点

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0

由AM⊥AN，得kAM·kAN=-1.

代入坐标，整理,得(k2+1)x1x2+(km-k+2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.

借助韦达定理，得(2k+m-1)(2k+3m+1)=0.

①

总结(1)对于例7，由于先发现kBD·kBC为定值，所以根据结论2，可以预测直线CD过定点，再用通性通法写过程，则轻松很多；(2)通过以上例题可以发现，对于椭圆的内接三角形，只要有两边的斜率之积或者斜率之和为定值，则第三边所在直线会过定点.

总结(1)例8的题设条件与例4完全相同，解题思想一样.对于无法借助斜率之积或斜率之和为定值来解决的难题，如例8，唯有利用通性通法硬算破解；(2)可以总结解题经验：只要点E和F是x轴上的定点，直线MN必会过定点.

通过以上8道例题的分析可以发现，斜率之积(和)为定值和直线过定点经常具有等价性，有时彼此之间可以互相推导，但不是绝对.我们可以粗略地总结如下经验：直线过定点，斜率之积(或和)为定值；斜率之积(或和)为定值，则直线过定点.这样可以帮助我们预判解题之路.而对于像例4和例8这样的无结论可直接套用的题目，唯有通性通法是“王道”.最后提供两个变式题供读者选用.