直线方程的八种形式及应用举例

朱贤良

(安徽省枞阳县宏实中学 246700)

确定一条直线的要素可以是直线的斜率和直线上一点，或者是直线上的两点.据此出发，可以得到直线方程的八种形式.

一、点斜式方程

已知直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，那么称方程y-y0=k(x-x0)为直线l的点斜式方程.显然，点斜式只能表示斜率存在(倾斜角不为直角)的直线；当直线的斜率不存在(倾斜角为直角)时，该直线的方程可表示为x=x0.

二、斜截式方程

已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，那么称方程y=kx+b为直线l的斜截式方程.实际上，斜截式方程可以看成是点斜式方程的特殊情形，也只能表示斜率存在(倾斜角不为直角)的直线.

三、两点式方程

已知直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，那么称方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0为直线l的两点式方程.任意直线的方程都可用这种形式表示出来，但不太方便记忆.

四、截距式方程

五、一般式方程

关于x,y的二元一次方程都表示一条直线，我们把方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)称为直线的一般式方程.

六、法线式方程

过原点作直线l的垂线段，若x轴到该垂线(与直线l垂直的直线称为直线l的法线)的角为α(把x轴依逆时针方向旋转至与该垂线重合时所转的角)，且该垂线段的长度为p，那么将方程xcosα+ysinα=p称为直线l的法线式方程.

法线式方程的推导方法多种多样，下面介绍借助圆的切线方程进行巧妙推导的方法：

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如图1，过坐标原点作直线l的垂线，垂足为点P，则x轴到法线OP的角为α，而垂线段OP的长度为p，故点P的坐标为(pcosα,psinα).

我们知道，圆心在坐标原点、半径为p的圆的方程为x2+y2=p2，过此圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=p2，而所求的直线l可以看成是此圆上在点P(pcosα,psinα)处的切线，其方程为(pcosα)x+(psinα)y=p2，即xcosα+ysinα=p.

直线的法线式方程xcosα+ysinα=p，即xcosα+ysinα-p=0具有两个特征：一是x,y的系数的平方和为1;二是常数项-p≤0(等于0时直线经过坐标原点).

七、点法向式方程

已知直线l经过点P0(x0,y0)，且一个法向量(与直线l垂直的非零向量)的坐标为n=(A,B)，那么称方程A(x-x0)+B(y-y0)=0为直线l的点法向式方程.

八、点方向式方程

读者朋友，你能从直线的法向量与方向向量之间的关联，说明点法向式方程与点方向式方程的联系吗？

需要注意的是，各种形式方程的局限性并不完全一致，在解题时要注意加以考虑，作出合理的选择，必要时需要进行分类讨论.以下仅举例说明点法向式方程与点方向式方程的应用，供读者朋友参考.

例题已知ΔABC的顶点坐标为A(3,2),B(9,-8),C(-1,4)，试求其外心与重心的坐标.

解析(1)求三角形的外心坐标：外心是三边垂直平分线的交点，故只需要求出其中两条边的垂直平分线方程，联立解得它们的交点，此即三角形的外心.

(2)求三角形的重心坐标：重心是三边中线的交点，故只需要求出其中两条边的中线方程，联立解得它们的交点，此即三角形的重心.

评注在求取直线的方程时，根据已知条件选用合适的形式进行表示.本题求垂直平分线方程时，易求其法向量坐标，故选用点法向式；求中线方程时，易求其方向向量坐标，故选用点方向式.