巧用曲线系方程 妙解解析几何题

刘海涛

(安徽省芜湖市第一中学 241000)

我们知道，若两曲线C1：f(x,y)=0，C2：g(x,y)=0有公共点M(x0,y0)，则过点M的曲线系方程为f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)(不包含曲线C2).

笔者在教学中发现，很多解析几何问题若能使用曲线系方程解题，可以达到事半功倍的解题效果.

一、求曲线的方程问题

解析设所求曲线方程为(x2+2y2-2)+λ(x2-2y+1)=0(λ∈R)，即(λ+1)x2+2y2-2λy+λ-2=0，与x+y=0联立，得(λ+3)x2+2λx+λ-2=0.由题知Δ=4λ2-4(λ+3)(λ-2)=0，解得λ=6，所以满足条件的曲线方程为7x2+2y2-12y+4=0.

二、求斜率为定值问题

例2 已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，若直线AB,AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为____.

得(y-2)2(k2y2+4k2y+4k2-4)=0.

三、求斜率和为定值问题

①

又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，由圆的相交弦定理的逆定理知A,B,P,Q四点共圆.由圆的一般式知方程式①中xy项系数为0，得-(k1+k2)=0，则k1+k2=0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

四、求斜率积为定值问题

五、求数量积为定值问题

六、求直线过定点问题

七、求圆过定点问题

例7 已知抛物线C：x2=-2py经过点(2，-1).设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N，且直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

八、求四点共圆问题

本文介绍的“曲线系方程”法， 为今后解决一类解析几何问题提供了新的思路，相较于联立直线与曲线方程的通法，该法过程简洁、计算量小，可以提高解题效率，但是该法有其局限性，我们在日常的学习中，要结合自身掌握程度和实际情况，选择最佳的解题方法，不能盲目追求某一种解法，要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想，从而提高自身的数学核心素养.