对2021年全国统一考试模拟演练两道解析几何试题的探究

王 贤

(广东省河源市广州大学附属东江中学 517500)

2021年1月，第二批进行高考改革的八个省份进行了适应性考试.此次模拟演练数学试题共出现三道解析几何题，考查知识点涵盖了三类圆锥曲线.其中第一道对椭圆相关知识点进行考查，相对简单；第二道对抛物线知识点进行考查；第三道对双曲线知识点进行考查，试题难度中等.本文选取其中的抛物线和双曲线试题进行探究.

一、对抛物线试题的探究

试题1(2021年八省联考卷第7题)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解法3 先引入圆锥曲线中两个常见的二级结论.

图1

从解法5可以看到：通过设点B(2b2,2b)，C(2c2,2c)，得到直线BC的方程，然后利用直线AB，AC的斜率之和与积，进而可得b+c与bc的值，从而求得直线BC的方程.事实上，用上述解法5可以求解如下的变式.

变式已知抛物线y2=2px上的三个点A(2,2)，B，C，记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.若k1+k2=5，k1k2=2，求直线BC的方程.

将以上变式进行推广，可以得到如下一般性的结论.

二、对双曲线试题的探究

图2

图3 图4

评注可以看出，以上三种方法都是将要证的命题从某个角度进行等价转化，通过证明等价转化后的命题从而间接证明原命题，三种不同的视角都是行之有效的.事实上，这并不是偶然，下面分析试题的命题背景.

图5

从以上分析我们看到：离心率为2的双曲线蕴含∠BFA=2∠BAF这样一条特殊性质.因而可以将离心率为2的双曲线视作一类特殊的曲线.事实上，离心率为2的双曲线作为圆锥曲线中的一种经典“结构”，在历年高考以及竞赛中频繁出现，比如2020年高考全国Ⅰ卷理科数学第15题，2017年新课标Ⅱ卷理科数学第9题，2016年山东高考理科数学第13题，2012年四川高考理科数学第21题等.

值得注意的是：在近几年高考数学解答题中，对圆锥曲线知识点的考查只出现过椭圆和抛物线，历年的高考考试大纲中对双曲线只作了解要求，而这次八省份适应性考试解答题却考了双曲线，这表明在取消高考考试大纲后，课程标准上作不同要求的知识点同等重要.因此，教师在教学中应认真研读课程标准中的教学提示和学业要求，应根据不同学生的学业质量水平要求的不同，为学生的数学学习精准导航.