探析“广义”弹性碰撞中“一动一静”模型两组解的取舍问题

李红红　郭金珂

摘要：碰撞是动量守恒定律中非常重要的过程模型之一，弹性碰撞又是碰撞模型中的考查热点，教学中经常建议学生记住某些结论，从而提高学生解题的速度和效率，但结论的成立是有条件的，而被舍弃的解并不是没有任何意义，就像弹性碰撞“一动一静”模型中碰

后二者的速度的取舍问题，被理所当然舍弃的解却是其他不同物理情境中的正解。

关键词：广义碰撞;一动一静;解的取舍

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0085-03

碰撞是动量守恒定律中非常重要的过程模型之一，因其所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系，能够全方位地考查学生的理解能力、信息加工能力、模型建构能力、逻辑推理能力及分析综合能力，从而培养学生“运用守恒思想、模型方法分析、解决物理实际问题的能力等”相关的物理学科核心素养.因此碰撞问题成为历年高考试题命题的重点和热点，自然也就成为高考复习备考的重点和难点.

一、狭义碰撞与广义碰撞

1. 狭义碰撞

狭义碰撞就是指两个运动的物体相遇而接触，在极短的时间内，相互作用的这两个物体动量发生突变，但两物体的位移却可近似认为是零的一个过程.因其相互作用的内力远远大于外力，故碰撞时系统的动量守恒.这种碰撞的主要特点是“作用时间极短”和“内力远远大于外力”，属于“短暂性过程”.

2. 广义碰撞

广义上的碰撞则是指两个物体的相互作用时间不是很短，相互作用的内力也不是很大，相互作用的内力而使系统内每个物体的动量发生变化的过程.

广义碰撞可近似看作是狭义碰撞的“慢镜头”，把“短暂性过程”缓慢拉长，成为“持续性过程”.如图1所示的两个小钢球之间的“瞬间、短暂”的碰撞过程就可以看成图2所示的两个物块A、B与弹簧组成的系统弹簧由原长变到下一次原长的过程.所以，许多类似于图2的相互作用过程都可以看作“广义碰撞”问题模型，如图3中两个带正电小球在光滑的水平面上相互作用的过程，图4中小球从小车左端滑上光滑弧形轨道，又滑回轨道底端的过程.

碰撞分为弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞.其中弹性碰撞动能没有损失，完全非弹性碰撞动能损失最多，而非弹性碰撞的能量介于弹性碰撞与完全非弹性碰撞之间.故平时主要研究弹性碰撞和完全非弹性碰撞.而在弹性碰撞中，被称为“黄金二级结论”的“一动一静”模型更是师生关注的重点，如果能够熟记“一动一静”弹性碰撞中两物体的碰后速度，则可大大提高做题效率，但我们却经常忽略“一动一静”模型中的另外一组解的应用情况.下面我们通过举例来逐步分析，希望能对大家有所启发.

二、“一动一静”弹性碰撞模型两组解的分析

方程组解得的（3）和（4）这组解是教材中给出符合两物体真实运动情境的一组解，也是前面提到的弹性碰撞模型中的“黄金二级结论”之一，熟记这个二级结论，确实可大大提高解题的效率.

三、广义弹性碰撞之“上下坡类”模型

例1如图6所示，小车的上面是由中突的两个对称的光滑曲面组成，整个小车的质量为m，原来静止在光滑的水平面上，今有一个可以看作质点的小球，质量也为m，以水平速度v从左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又从右侧曲面滑下，当小球滑到右侧曲面底端时，求小车和小球的速度分别为多少？

分析与解：小球在小车曲面上运动的过程中，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，由小车上中突的曲面光滑可知，小球由左端滑上曲面至小球滑到右侧曲面底端的过程中，系统机械能守恒，且初末位置动能相等.

这表明：当小球滑到右侧曲面底端时，小球速度为0，而小车速度为向右的v，小车运动速度比小球大，而由实际运动情境可知，小球滑到曲面最高点时，小球与小车速度相等，小球由右侧曲面滑下的过程中，小球速度在增加，小车速度在减小，故不可能出现上述结果.所以此种情境下，合理的速度应该是方程的另一组解，即小球速度变回原来的v，而小车速度减为0.

变式1若将例1中的小车变为如图7所示，光滑弧形轨道足够长，小球不会从轨道上端滑出，求小球再次滑回弧形轨道底端时，小车与小球的速度分别为多少？

分析与解由分析可知，小球与小车之间的相互作用过程仍然属于广义弹性碰撞中“一动一静”模型，套用“黄金二级结论”可直接解得二者的速度分别为

即因小球与小车质量相等，小球与小车交换速度.这种运动情境完全可套用“一动一静”模型的结论.

思考倘若上述例1和变式1中小车质量为M，小球质量为m，二者质量不相等，那上述两种情况下，小球与小车的速度又如何呢？

四、广义弹性碰撞之“弹簧——滑块类”模型

分析与解由于两物体与弹簧组成的系统所受外力为0，所以系统动量守恒，又由于系统只存在势能与动能之间的转化，故机械能守恒.当物体A获得初速度之后，两物体和弹簧一起在水平面上做“先壓缩、再恢复原长、再拉伸、再恢复原长”地重复性地向前运动，且在弹簧原长时，弹性势能为0，系统只有动能.设第一次恢复原长时物体A、B的速度分别为v和v.第二次恢复原长时物体A、B的速度分别为v′和v′.

（1）从开始运动到弹簧第一次恢复到原长时

此过程弹簧一直处于压缩状态，B物体一直做加速运动，A物体一直做加速运动，当弹簧恢复到原长时物体B速度达到最大，物体A速度减到最小.由动量守恒定律和机械能守恒定律可得

（2）从弹簧第一次恢复到原长到弹簧第二次恢复到原长时

此过程弹簧一直处于伸长状态，B物体一直做减速运动，A物体一直做减速运动，当弹簧恢复到原长时物体B速度减到最小，物体A速度达到最大.由动量守恒定律和机械能守恒定律可得

此方程与“一动一静”弹性碰撞方程也一致，但我们通过分析可知，此次弹簧恢复原长时物体的速度与第一次弹簧恢复原长时物体的速度不相同.所以，第二次恢复原长时，解得的速度应为方程组的另一组解，即v′=v; v′=0，其含义为：当弹簧第二次恢复原长时，物体A恢复为原来的初速度v，物体B速度正好减小为0，所有物理量及状态都恢复为开始运动的初状态.依此类推，在此后的运动过程中，当弹簧第奇数次恢复原长时，物体A、B的速度均与第一次速度相同;当弹簧第偶数次恢复原长时，物体A、B的速度均与第二次恢复原长时速度相同.

变式2如图9所示，物体A、B间拴接一个压缩后被锁定的轻质弹簧，整个系统静止放在光滑水平地面上，其中A物体最初与左侧的固定挡板相接触，B物体质量为2kg.现解除对弹簧的锁定，在A离开挡板后的某时刻开始，B物体的v-t图象如图10所示，则可知（ ）.

分析与解通过对A、B的运动分析，配合题中所给B物体的v-t图象，可知B物体速度最大为3m/s时，A物体速度为0;B物体速度最小为1m/s时，A物体速度最大为v，由“黄金二级结论”可得，弹簧第一次恢复原长时速度满足

总结在碰撞类动量守恒定律中，记住模型及其对应的结论固然重要，但结论的得出及取舍过程更能体现物理学科的严密思维及推理过程，同时也是培养学生知识获取能力、模型建构能力、逻辑推理能力、分析综合能力、信息加工能力的最佳途径.所以建议在教学过程中应该让学生亲自去计算、去体会方程组不同的解进行取舍的原因，而不是纯粹记结论、套公式.

参考文献：

[1]傅雪平.高考物理16讲[M].杭州：浙江大学出版社，2020.

[责任编辑：李璟]

作者简介：李红红，中学高级教师，河北省骨干教师，从事高中物理教学研究.

郭金珂（1975.1-），中学高级教师，河北省骨干教师，从事高中物理教学研究.