组合紧相连 拆分互转换

摘要：每一年高考题的出现无不例外地吸引无数同行的眼球，今年的高考试题也是如此.下面是笔者对2020·新课标Ⅰ·18立体几何试题进行剖析，旨在寻找题型的规律，总结解题方法，以抛砖引玉.

关键词：高考试题;解题方法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）28-0064-02

一、题目再现

考点分析本题考查了线面垂直的证明及二面角的大小. 知识考点覆盖了立体几何的核心知识.包括圆锥定义、性质、正三棱锥、线面垂直判定及二面角大小等;从思想方法和数学素养层面看，需要具备较高的直观想象、逻辑推理、转化与化归、运算求解、数形结合等，同时还需要学生稳定的心理素质.

二、思路探究及解答过程

1.题目已知条件是什么？结论是什么？并在图中作标注

一个图中图即圆锥里面套着一个正三棱锥.第（1）问是证明线面垂直;第（2）问是求二面角大小.本题涉及圆锥、正三棱锥、圆内接等边三角形、圆锥母线与圆直径相等、圆锥和三棱锥高的数量关系，分别标注于几何体中.

2.常见相关类型题目及解题思路

有关线面垂直的判定定理其实就是在平面内找两条相交垂线，关键是证明线线垂直;有关求二面角大小常见方法是建立空间直角坐标系，利用坐标运算求法向量，用数量积求解即可，这是教师常见的固化思维.

3.思维障碍

观察图形，本题线条比较多，容易产生错觉，不少学生比较陌生，图形转换困难.原因是不会利用图形转换，导致线线垂直没有经过详细的推理证明，没有求出相关数值，也没有勾股定理的身影，从而不少学生想当然认为空间中两条直线垂直;其次第二问需要建立空间直角坐标系时，点P，B，C，E的坐标很关键、求法向量运算容易出错.

分析解决此问题，最好的办法就是对几何体分割，拆分成圆锥和正三棱锥.第（1）问：几何体之间要进行图形交互转换，分别求出各元素的值，利用勾股定理即可证明PA⊥PC，PA⊥PB，进而得证;第（2）问：根据题目的条件，选择适当的x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC及平面PCE的法向量，利用向量的数量积公式计算即可.

三、解题后反思

在教学中，立体几何试题一直被认为必得分题！围绕平行、垂直的高考题历来根深蒂固，但是从来没有出现一模一样的高考题！“常考常新、年年考年年新”是高考题的显著特点！如何围绕平行、垂直做文章，如何走出这种固有思维？一直是许多教育工作者的期待！也是命题专家的良苦用心！而今年这种“走样”高考题很接地气，给师生一种“传统而富有新意”的感觉.对不少考生来说：“熟悉而不陌生、新颖而不陈旧、容易而难满分”.

走样之一考查内容不一样.图中图，传统中有新意.传统的是：熟悉的背景（圆锥和正三棱锥），试题设问部分没有变化.第一问论证部分，强调逻辑证明，突显逻辑推理;第二问求值部分，强调空间向量，突显运算求解.新意在于图中图，像这种圆锥套正三棱锥的几何体往往很少见到.考查圆锥的内容不一样，以往考查往往专注于考查圆锥的体积、面积、三视图、展开图，而这次考查了圆锥的定义、性质（柱垂直于底面，圆锥母线都相等），来自圆锥最原始的概念、最基本的老祖宗.这是命题专家命制几何试题的初心和使命，也是一次突破和创新.简单而不复杂，再次见证几何的味道！

走样之二考查题型不一样.按照往年的惯例，组合体一般分布在选择题或填空题中.而

今年出人意料的是：这次组合体出现在解答题中;其次考查组合体内容也不同，按照以往经验，与球有关的组合体出现的概率比较常见，或者多见于与柱体有关的组合体，而这次圆锥里面套着正三棱锥实属不多见，图形常见而新颖，它们都藴含着特殊图形.如直角三角形及等边三角形.

走样之三直观视觉不一样.

注重几何基础，突显直观想象.所谓几何直观就是依托图形进行数学思考和想象，其实就是一种通过图形所展开的想象能力.它往往需要逻辑支撑，把看到的与学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路.与往年高考立体几何试题不同的是，今年高考立体几何题是组合体，图中图、线条多，涉及元素复杂，容易造成“眼花”，这是命题专家们考查学生在几何直观素养方面的一大杰作.为避免看走眼，产生图形错觉，最可行的办法最好就是分割！分拆成圆锥和正三棱锥.比对两个图形，逐一找出相同的量和不同的量，分别算出各自所需的值，最终还原到组合体中.下面是对今年高考立体几何试题分割后的图形比对.

注重观察比对，突显转化和化归.通过图3观察，比对图形，在三个图形之间交互转换，以便寻找相同元素，區别出不同元素，逐一计算并标注，得出所需的数值，最终还原到组合体中，达到快速解题.

当前，在大力倡导数学核心素养的背景下，试题的背景或形式发生改变，而主心骨并没有变！所以教师在教学中如何抓住主心骨？让学生会思考，会解题，解对题！这将引领我们向更深层次的思考，从而更好地提高教学质量.

参考文献：

[1]杨伟达.一道高考试题的解法探究与思考[J].数学通讯，2017（24）：25-27.

[责任编辑：李璟]

作者简介：杨伟达（1973.10-），男，广东省兴宁人，中学高级教师，从事数学教学研究.