计划有变类行程问题的求解

安维宽 解天才 熊家昌

摘 要：行程问题是小升初考试中的常考模块。分析清楚题设情景（过程）再结合行程公式及所蕴含的比例关系进行求解是一种重要的行程问题解题方法。文章以计划有变类行程问题，包括非同时出发行程问题、速度变化行程问题、有折返行程问题等为例谈一谈行程问题公式及比例思想在行程问题求解中的应用。

关键词：行程问题;计划有变;公式;突破口;情景分析

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：2095-624X（2021）37-0084-02

一、深刻理解公式，灵活解题

行程问题的特点是题型多、难度较大、方法灵活，其是培养小学生情景和过程分析的好素材，练习该类型问题有益于学生学科思维习惯的培养。行程问题公式蕴含比例思想，比例思想是求解行程问题的利器。求解行程问题的关键是对公式的深刻理解和灵活应用。对行程问题，要注意从效果上分析，灵活运用公式求解，否则会因拘于题述细节而造成求解过程烦琐。

例1 （相遇一方提前出发的行程问题）每天早上李刚定时离家上班，张大爷定时出门散步，他们每天都相向而行，且准时在途中相遇。有一天，李刚因有事提早离家出门，所以他比平时早7分钟与张大爷相遇。已知李刚每分钟行70米，张大爷每分钟行40米，那么这一天李刚比平时早出门（   ）分钟。

A.7             B.9             C.10             D.11

解析：在行程问题中，本题是相遇路程不变，相遇时间（刻）提前7分钟，相当于两人都提前了7分钟出发。在单独李刚一人提前的情况下，由李刚和张大爷速度之比为7：4，（7+4）×7=（7+0）×11，可知李刚需要比平时早出发11分钟。本题求解需要准确理解公式“速度之和乘相遇时间等于相遇路程”并利用其进行求解。

例2（非同时出发的行程问题）甲、乙两人骑车分别从 A、B两地相向而行，已知甲、乙两人的速度比是2：3，甲比乙早出发15分钟，且经过1小时45分钟遇见乙，此时，甲比乙少走了6千米，求A、B两地之间的距离？

解析：非同时出发的行程问题可结合相遇问题公式对比同时出发情况来分析。据题意，设总路程为s， 甲、乙的速度分别为 2x千米/小时和 3x 千米/小时。若甲、乙两人同时出发则经过1小时36分钟（130+2×15/5）相遇，s=8x千米，此时甲比乙少走s/5（即8x/5）。实际情况是乙比假设情况少走3x/10千米（乙6分钟走的路程），所以有s/5-2×3x/10=6， 则x=6，

s=48千米。

巩固提升题：甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行48千米。乙车先出发1小时后甲车出发，结果两车在距中点6千米处相遇，求A、B两地之间的路程。

提示：设A、B两地之间的路程为s（求什么设什么）。若两车同时出发则相遇点在5s/9处，因乙车先出发1小时，实际相遇点在5（s-48）/9处（对比同时出发情况分析）。根据题述条件无法判断实际相遇点在（A、B两地）中点（自然在s/2处）靠近A一侧还是靠近B一侧，所以得方程5（s-48）/9±6=s/2，解得s=588千米或s=372千米。

评析：本题是一道开放性的非同时出发行程问题。不失为一道锻炼学生思维的好题。2021年2月，教育部发布通知指出，2021年高考要优化情境设计，强化试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。这意味着，2021年高考各科的开放性试题比例将增加，将更考验学生对知识的灵活运用能力。高考经过这一改革将更有利于考生的全面发展。因此，教师要引导学生全面提升其自身的素养。

例3 （假设速度改变的行程问题）一战斗机从甲机场匀速开往乙机场，如果速度提高25%，可比原定时间提前12分钟到达;如果以原定速度飞行600千米后，再将速度提高1/3，可以提前5分钟到达。那么甲、乙两机场的距离是多少千米？（   ）

A.750             B.800             C.900             D.1000

解析：由行程問题公式“路程=速度×时间”可知，路程一定，速度和时间成反比例关系。据此，由“速度提高25%，可比原定时间提前12分钟到达”可知，按原速度1小时可到达。同理若全程将速度提高1/3，则可以提前15分钟到达。实际是提前了5分钟到达，所以600米占全程的2/3（即只有1/3的路程提速1/3行驶），甲、乙两机场的距离是900米。本题充分利用了“路程一定，速度和时间成反比例关系”（公式）来灵活求解。

例4（有折返的行程问题） 甲、乙两人同时以每小时4千米的速度从A地出发到B地办事，行走2.5千米后，甲返回A地取文件，他以每小时6千米的速度赶往A地，取到文件后，仍以每小时6千米的速度回头追赶乙，结果他们同时到达B地。已知甲取文件在办公室耽误了15分钟，求A、B两地距离。

解析：设甲的有效追击时间为t，甲的追击距离S=2×2.5+4×1/4=6千米。注意甲返回过程也可视为追击过程的一部分，且甲取文件耽误15分钟期间乙走的路程也是甲追击距离的一段。因此，由追击公式有6=（6-4）×t甲，t甲=3小时，乙行走的时间t乙=（2.5/4+t甲+1/4）=15.5/4小时，则A、B两地距离为15.5千米。本题考查的是对追问题及追击公式的深刻理解。

二、抓细节找突破口，进行求解

在行程问题中要么题述时刻（或各运动对象相关联状态）繁多，要么以多过程为背景，要么题目告知假设细节，要么题中相关数量关系隐蔽（必要时可借助行程图使问题明朗化）。解题时要善于咬文嚼字，寻找解题突破口（进行综合分析、比较，从局部、部分过程入手来寻找），注意相关参量间的关联性，再结合行程问题公式或比例关系进行求解。行程问题的求解过程经常是掩卷深思求突破，茅塞顿开现妙思。

例5  （速度改变的行程问题）长途汽车从A站出发，匀速行驶，1h后突然发生故障，车速降低了40%，到终点B站延误达3h。若汽车多跑50km后才发生故障，坚持行驶到B站能少延误1h20min，那么A、B两地相距（    ）千米。

A.412.5       B.125.5       C.146.5      D.152.5       E.137.5

解析：从“若汽车能多跑50km后才发生故障，坚持行驶到B站能少延误1h20min”可知，按新速度每行驶50km则较原来（速度）延误1h20min，据此，由“到终点B站延误达3h”可知该汽车按新速度跑了50×（3÷4/3）=112.5km，原来的速度为v=25km/h。所以A、B两地相距137.5千米。从本题求解可见行程问题的求解常需要进行逻辑推导，其是锻炼学生逻辑思维的好工具。

例6  （有折返的行程问题）自行车队出发90分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点18km的地方追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到后又返回去追自行车队，再次追上时恰好距出发点27km，试求自行车和摩托车的速度。

解析：经分析可知通信员返回出发点再次追上自行车队这一过程经过的路程是45km（18+27=45），同一时间段内自行车队经过的路程为9km（27-18=9），因此通信员和自行车队的速度比是5：1。因而，自行车队前90分钟所行路程为14.4km，自行车队的速度为9.6km/h，通信员（摩托车）的速度为48km/h。本题求解需先厘清两运动对象相关时刻的行程（即为本题解题突破口），再针对两次追及过程运用路程比例关系进而求出速度。

说明：本题也可研究通信员返回出发点后再次追及的过程。此过程追及距离为27km，则自行车队先出发135分钟，因而通信员之前往返18km用时45分钟，即可求出通信员的速度为48km/h。自行车队的速度为18÷（90+22.5）/60=9.6km/h。从本题可看出，行程问题的求解有时研究过程的选取较灵活。

例7（分段变速的行程问题） 某人驾车从A地赶往B地，前一半路程比计划多用了45min，平均速度只有计划的80%。若后一半路程的平均速度为120km/h，此人还能按原定时间到达B地，则A、B两地的距离为（   ）km。

A.450      B.480      C.520      D.540      E.600

解析：对前一半路程和后一半路程依次利用“路程一定，速度和时间成反比例关系”进行综合分析即可求出全程计划的速度及时间，进而求得A、B两地的距离。具体而言，设按照计划全程的路程、速度及时间分别为s、v及t。显然，对前一半路程，45min为计划时间的1/4（45min为1/8t），t=6h;对后一半路程，用时为计划时间的3/4（即3/8t）（因为对全程而言，计划和实际用时相同），速度为计划速度的4/3，为120km/h，则v=90km/h;因此总路程为540km。本题求解主要利用了“路程一定，速度和时间成反比例关系”及前、后一半路程之间的时间联系（解题突破口）进行求解。本题的求解也体现了行程问题求解中要辩证看待“变与不变”，有时 “变与不变”（如变中的不变量）恰是解题线索。

例8（假设速度改变的行程问题）A、B两地相距200千米。某日，甲、乙两人同时从A、B两地出发，匀速相向而行，在C处相遇。若甲速度提高12千米/时，则两人在距C处25千米的地方相遇。若乙速度提高12千米/时，则两人在距C处15千米的地方相遇。那么甲的速度为多少？

解析：设甲、乙的速度分别为v甲、v乙，未提速时的相遇时间为t。甲、乙在对方提速情况下（到相遇）所走路程较未提速情况下少走的路程分别为s1和s2，则s1+s2=25+15=40，且s1：s2=15：25=3：5。都未提速时甲、乙所走的路程之比（同时也是速度比）也为3：5。所以，提速后的相遇時间t=40/12=3（1/3）h，v甲=（200-40）÷（10/3）×（3/8）=18km/h。本题的突破口在于，通过行程图得出提速后在相遇时间内以12千米/时的速度可行驶40km。

比例思想在行程问题的求解中有着十分重要的地位。通过以上对计划有变类行程问题的求解可以看出，灵活运用公式及比例思想求解是一种重要的行程问题解题方法。学好小学行程问题可有效为高中物理学科素养的培养打好基础。教师在教学中要多示范运用比例思想求解行程问题，循序渐进地提升学生解题能力，让学生掌握这一重要的解题思想、方法和技巧。

[参考文献]

[1]严 军，马传渔.举一反三·奥数1000题全解（6年级）[M]. 南京：江苏人民出版社，2012.

[2]周建新.一般行程问题[J]. 小学生学习指导，2020（Z5）：42-43，64.

作者简介：安维宽（1975— ），男，云南宾川人，中小学二级教师，专科，研究方向：中学物理教学;

解天才（1978— ），男，云南宾川人，中小学一级教师，本科，研究方向：中小学数学教学。

通信作者：熊家昌（1979— ），男，云南宾川人，讲师，本科，研究方向：中学物理教学。