磁悬浮准滑模目标跟踪控制器设计

2021-11-19任鹏飞卢金燕

计算机仿真 2021年10期

薛鹏，任鹏飞，卢金燕

(河南工程学院，河南郑州 451191)

1 引言

在非接触支撑控制技术中，磁悬浮技术的理论研究推进较为迅速。磁悬浮衍生的产品技术又以交通和航天领域的应用推进较快[1-3]。受到对象建模不确定和随机干扰因素的影响，为磁悬浮系统设计对模型精度依赖程度低，抗干扰能力强的控制方案成为值得长期研究的方向。

基于线性时不变模型，PID控制以其结构简单、参数整定方便的优点常见于控制方案的设计[4，5]，但存在稳态精度低、抗干扰能力差的缺点[6]。采用变参数PID控制或非线性PID控制可增强系统刚度，提高其抵抗外力冲击的能力[7]。为提高系统抗干扰能力和稳定性，采用增加干扰观测器的方式，以可控参数更多的分数阶PID为基础[8-10]，并融合遗传算法、粒子群算法等人工智能的复杂算法更多地被用于磁悬浮控制[11，12]，以期待得到更好的控制效果。既有研究结论表明，对象建模的不确定性不利于系统有效控制方案的设计，有必要讨论对精确模型依赖程度低的控制方案。

滑模控制律通过迫使状态轨迹沿滑模曲面的切换线快速滑动到原点，具有响应快、结构简单的特点[13-15]。又因滑模变结构控制不完全依赖对象模型，本文通过滑模控制方案实现被控小球对目标悬浮位置的有效跟踪。控制信号在滑模面的反复切换使得系统具有天然的抖振现象，为了保证系统输出的平滑性，在滑模滑动阶段采用连续控制的方法达到削弱输出抖振的目的。最后，通过PID、滑模SMC1和准滑模SMC2三种方案控制效果的对比验证了所得方案的有效性。

2 磁悬浮装置动态模型分析

磁悬浮装置的工作原理如图1所示。被悬浮小球通过电磁引力克服来克服重力，实现在目标位置的稳定悬浮。可以小球的力学方程、线圈的电磁方程为基础建立其动态数学模型。

图1 悬浮装置原理分析

忽略小球受到的不确定干扰力，则被控对象小球在此系统中只受电磁引力和自身重力的影响，其在竖直方向的动力学方程可描述为

(1)

式中，x为小球质心与电磁铁磁极之间的气隙(以磁极面为零点)，m为小球的质量，重力加速度g=9.8m/s2。

在图1所示磁悬浮系统中，小球到电磁铁磁极的气隙为x，而磁阻主要集中在电磁铁磁极和小球所组成的气隙上。又因为铁芯由铁磁材料制成，其磁阻与气隙磁阻相比很小，故，磁阻为

(2)

式中，l为铁芯的导磁长度；μ0，μ为铁芯的相对磁导率；A，A0为铁芯导磁截面积。

由磁路的基尔霍夫定律有

Ni=φ(i，x)R(x)

(3)

则

(4)

式中，N为电磁线圈绕线匝数。

假设电磁铁没有工作在磁饱和状态下，且每匝线圈中通过的磁通量都是相同的，则线圈的磁通链数为

(5)

又由毕奥-萨伐尔定律可知，在空间任意一点所产生的磁感应强度都与回路中的电流强度成正比，因此磁通量φ也与I成正比，即

Nφ=Li

(6)

则瞬时电磁铁绕组线圈电感为

(7)

磁场的能量

(8)

则小球受到的电磁引力为

(9)

可知，电磁引力与气隙是非线性的反比关系，这也是磁悬浮系统不稳定的根源所在。

再分析电磁铁中控制电压和电流的模型，将电磁铁线圈用一电阻和电感线圈串联来代替。由电磁感应定律及电路的基尔霍夫定律可知

(10)

当小球处于平衡状态时，其加速度为零，此时小球所受合力为零。小球受到向上的电磁引力与小球自身的重力相等，因此得系统平衡边界条件

mg+F(i0，x0)=0

(11)

至此，磁悬浮系统方程联合描述为

(12)

在(12)式中，电磁系统中的电磁引力F和电磁铁绕组中的瞬时电流i、气隙x之间存在着较复杂的非线性关系。考虑系统悬浮目标范围不大，对系统在目标位置处进行线性化处理。应用泰勒级数，并略去高阶项，可得

F(i，x)=F(i0，x0)+Fi(i0，x0)(i-i0)

+Fx(i0，x0)(x-x0)

(13)

式中，F(i0，x0)是当磁极与小球间的气隙为x0，平衡电流为i0时电磁铁对小球的电磁引力，该引力与小球的重力平衡，所以有

F(i0，x0)=-mg

(14)

(15)

(16)

那么，系统方程(12)中的第一个等式可写作

(17)

进行拉普拉斯变换，得

(18)

再由边界条件(11)，得

(19)

定义系统对象的输入量为功率放大器的输入电压，也即控制电压Uin，系统对象输出量为悬浮位置所反映出来的输出电压，也即传感器后处理电路输出电压Uout，则该系统控制对象的模型可描述为

(20)

式中，ka，ks为相应控制电压信号对应的增益系数。

以线圈电压uin为输入，小球悬浮位置y=x为系统输出，可由(20)式得系统状态表述模型为

(21)

以固高磁悬浮实验装置GML1001为参照对象，表1给出了试验中所采用的磁悬浮系统的主要参数。那么，式(21)中，c=2502.96，a0=981.511。

表1 悬浮系统主要参数列表

3 控制器设计

以(20)(21)式作为系统模型，进行磁悬浮控制器设计。

3.1 PID控制器设计

在文献[15]中，给出了一种PID控制器的设计思路，这里引用作为控制效果比较对象。其控制参数Kp，Ki，Kd，设计过程简述如下：

(22)

(23)

(24)

记跟踪误差e=r-y=r-cx1，控制律设计为

(25)

这种控制方案以欠阻尼闭环稳定为设计目标。

3.2 SMC控制器设计

在系统方程(21)中，由输出方程可得

y=cx1

(26)

那么，悬浮位置跟踪目标r为给定常数，跟踪动态误差为

e=r-y=r-cx1

(27)

由系统方程(21)中的状态方程可得

(28)

误差e决定控制系统的控制律。为使得系统完全渐近稳定，对任意初始值e(t0)，需要

(29)

设计磁悬浮系统滑模曲面为

(30)

那么，由(28)(29)式，可得

(31)

(32)

(33)

此时，系统渐近稳定，误差以1/λ为时间常数按指数律趋近于零。

为了使得系统能够快速到达滑模面，进入滑动阶段，考虑扰动上界，采用控制律

(34)

式中，β≥e为不确定扰动的上界，当悬浮目标位置为20mm时，可取β≥20a0=981.511×20。f(·)是滑动阶段的切换函数。切换函数的限幅依赖控制电压，其范围限制在[-10+10]。

由(31)和(34)得系统控制量为

uin=ueq+Δup

(35)

式中，Δup是与扰动相关的补偿控制量，有

(36)

对于(34)和(36)式中切换函数的选择问题，在滑模控制的到达阶段考虑快速性，在滑动阶段考虑平稳性。分别记

(37)

(38)

记李雅普诺夫函数为

(39)

有

(40)

这表明两种滑模控制方案均可使得所设计系统的稳定性是满足的。仿真分析中进一步对控制系统的动态性能进行分析。

4 仿真分析

以表1中列写数据为被控对象主要参数，通过所设计的控制律实现悬浮小球在目标位置悬浮的仿真分析。如表中所示，小球平衡时球心到电磁铁底面的距离为20mm，而小球半径为12mm，因此，小球上切面到电磁铁底面的距离为8mm。

4.1 目标跟踪分析

图2所示为三种控制方案的仿真结果。其中PID控制方案为文献[18]中的方案，采用(34)和(35)式所得方案时，分别用SMC1和SMC2进行标识。在图2结果中，PID方案的控制效果和参数调节直接相关，仅实现了系统的欠阻尼稳定输出控制，仿真结果具有较大的超调量；SMC1方案采用符号函数设计等速趋近律，在系统进入滑动阶段后存在明显的抖振现象；采用饱和函数后，SMC2控制方案呈现平滑稳定的控制效果。

图2 小球悬浮位置的阶跃响应

表2对三种控制方案的目标跟踪性能指标进行了对比，可见，SMC2方案在保证快速性的同时，实现了无超调平稳跟踪，并且在稳态阶段没有明显抖振现象。

表2 目标跟踪性能指标

滑模控制方案SMC2的动态相函数在图3中给出，可见：滑模控制在到达阶段具有快速收敛特性，并在滑动阶段非常平稳。

图3 SMC2控制方案中的滑模曲面趋近

4.2 抗扰能力分析

进一步分析所得控制方案的抗干扰能力。在小球位置输出的反馈环节加入幅值为给定信号2.5%的随机干扰，分别采用三种控制方案得到小球悬浮位置输出如图4所示。与PID方案和SMC1方案相比，准滑模控制方案SMC2的优势在于速度快并且没有超调。在外部干扰存在的情况下，t=1秒时跟踪目标的变化导致SMC1方案出现较大的输出波动。图5给出了在1.2s-1.5s时三种控制方案的输出比较，可见，切换控制SMC1出现明显抖动，而方案SMC2仍然保持快速平稳的控制效果。

图4 干扰影响下小球的悬浮位置输出

图5 系统稳态振幅(1.2s-1.5s)

方案SMC2对于外部干扰具有较强的鲁棒性，其代价是需要更强的控制作用。图6给出了图4中三种控制方案所对应的控制律，可见，方案SMC1的控制律在[-1，1]，而方案PID的控制律在[-3，3]，而SMC2方案对应的控制律范围为[-50，50]，即便在稳态阶段，控制律也在[-15，15]范围内波动，明显比另外两种方案大得多。