一道美国数学奥林匹克题的八种证法

广东省深圳中学 (518001) 邱际春

题目如图1，BE、CF分别是锐角△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克第5题)

图1

从图形结构来看，此题条件精炼，结构优美，解法丰富.文[1]利用线段间的数量关系结合相交弦定理对此赛题进行了证明，文[2]分别运用三角法和解析法给出两种证法，笔者在文[3]中利用反演变换给出这一赛题的新证法，并在文[4]中通过类比和改造图形结构演绎出一些新结论.

本文从图形特征出发，利用相似三角形的性质、圆的有关性质和定理及三角代换等技巧，从而给出下面八种新的证明方法，以飨读者.

1 利用相似三角形的判定与性质证明

图2

图3

评注：事实上，利用相似证明M、N、P、Q四点共圆的方法有很多，中学阶段最为常用的方法是通过证得共底边的△PHN的顶角∠PNH和△MHQ的顶角∠MQH相等，且在底边同侧，从而推出四个顶点共圆.

2 利用圆幂定理及其逆定理进行证明

证法三：如图4，设BE、CF交于点H，由题设条件知H为垂心.连接AH，且延长后交BC于点D，则AH⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°.又因为AB和AC分别是两圆的直径，所以点D是两圆的交点，故由相交弦定理可得MH·HN=AH·HD=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四点共圆.

图4

证法四：如图5，因为BE、CF分别是锐角△ABC的两条高，所以∠CFB=∠CEB=90°，所以B、C、E、F四点共圆.又因为AB和AC为两圆的直径，所以点E和点F均为圆上的点.注意到B、M、E、N，P、Q、C、F均为四点共圆，故利用相交弦定理可得MH·HN=BH·HE=CH·HF=PH·HQ，故M、N、P、Q四点共圆.

图5

评注：相交弦定理和切割线定理统称为圆幂定理，注意到MH·HN、PH·HQ分别是两圆的幂，要证M、N、P、Q四点共圆，则需要证明点H是两圆的等幂点.这就需要反复用到圆幂定理，它在数学竞赛中是证明四点共圆的有效工具.

证法五：因为BE、CF分别是锐角△ABC的两条高，所以∠CFB=∠CEB=90°，所以B、C、E、F四点共圆.如图6，连接AM,AN,AP,AQ，则由垂径定理知AM=AN,AP=AQ，下面只需证AM=AP.利用圆幂定理可得AF·AB=AE·AC，又因为AB和AC为两圆的直径，所以∠AMB=90°,∠APC=90°.由射影定理可得AM2=AF·AB,AP2=AE·AC，故AM=AP.因此，M、N、P、Q四点共圆.

图6

评注：注意到MN⊥AB,PQ⊥AC，根据垂径定理知AM=AN,AP=AQ.于是容易想到点A为所证圆的圆心，并证明这四个点到它的距离相等.

3 利用定差幂线定理进行证明

图7

评注：上述证明过程中用到了一个重要的结论：AH⊥BC等价于AB2-HB2=AC2-HC2.这个结论称为定差幂线定理，它是证明垂直这一类问题的常用方法.

4 利用根轴的性质进行证明

证法七：设BE、CF交于点H，由题设条件知H为垂心.如图8，连接AH，且延长后交BC于点D，则AH⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°.又因为AB和AC分别是两圆的直径，所以点D是两圆的交点，AD为两圆的根轴，故点H到两圆的幂相等，即MH·HN=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四点共圆.

图8

评注：由于AD、CF、BE分别是⊙ANBM、⊙APCQ和⊙BFEC两两的根轴，故点H是三圆的根心.

5 利用三角函数法进行证明

证法八：如图9，分别连接AH,AM,AP,BM,CP，设△ABC的外接圆半径为R，则由题意知CN⊥AB,BQ⊥AC.因为AB和AC分别是两圆的直径，所以FM=FN,EP=EQ，∠AMB=∠APC=90°.由射影定理得PE2=AE·EC,MF2=FA·FB.由于∠AHE+∠HAE=90°,∠HAE+∠ACB=90°，可得∠AHE=∠ACB，故EH=AHcos∠ACB=2Rcos∠BACcos∠ACB.同理可得FH=2Rcos∠BACcos∠ABC，所以要证M、N、P、Q四点共圆，等价于要证MH·HN=PH·HQ.由正弦定理可得MH·HN=(MF-FH)(MF+FH)=FA·FB-FH2=BC·AC·cos∠BACcos∠ABC-4R2cos2∠BACcos2∠ABC=4R2cos∠BACcos∠ABC(sin∠BACsin∠ABC-cos∠BACcos∠ABC)=-4R2cos∠BACcos∠ABCcos(∠BAC+∠ABC)=4R2cos∠BACcos∠ABCcos∠ACB，同理有PH·HQ=(EP-EH)(EP+EH)=EA·EC-EH2=BC·AB·cos∠BACcos∠ACB-4R2cos2∠BACcos2∠ACB=4R2cos∠BACcos∠ACB(sin∠BACsin∠ACB-cos∠BACcos∠ACB)=-4R2cos∠BACcos∠ACBcos(∠BAC+∠ACB)=4R2cos∠BACcos∠ACBcos∠ABC，故MH·HN=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四点共圆.

图9

结语：事实上，文[4]以源问题为起点，基于纵向分析和改造几何结构，进而演绎发展出一系列的新结论.本文则从横向视角，通过对这一优美的两圆模型进行较为深入的解题探索，让我们从不同的角度重新审视该问题，也让我们感受到几何纯粹的内在美与它富于神奇的变化.在浩如烟海的数学竞赛题中，几何试题千变万化.若能跳出问题本身来看待问题，从而探究延伸出新问题，或提炼出这类问题的经验方法和解题策略，这无论是对于解题能力的提升，还是对于命制新颖的试题，都是大有裨益的.