有效整合，从无序走向精彩——基于变式教学理念的初中几何课例的实践与思考

江苏省太仓市第一中学 (215400) 朱建良

初中数学变式教学的重点是培养学生的数学理解能力，变式教学围绕相同的数学知识变换问题的条件与结论，通过一题多变、一法多用、一题多解等学习模式，引导学生在探究体验的解题过程中，理解顿悟其内在的数学规律，从而揭示数学本质，帮助学生完整、透彻地理解数学知识，形成良好的认知结构，以其达到事半功倍的学习效果.本文以苏科版数学九年级“圆”的一节复习课为例，尝试通过变式教学整合一类问题的学习资源，立足于学生能力的发展本位设计变式问题，挖掘其教学价值，敬请同行指正.

1.模型先行，提出问题

挖掘一类问题内隐的本质是实施变式教学的根本任务，变式教学设计的目的在于突破难点，显现知识本质规律.苏科版数学九年级(下)，学习了《圆》内容后，类似于数学研究提出以下问题：

问题如图1，⊙O中，弦BA、DC延长线相交于点P，分别连接AC、BD、BC、AD，找出图中相似的三角形.

图1

解析：如图2，△BCP∽△DAP，△PAC∽△PDB，△BGA∽△DGC，△BGD∽△AGC.

图2

设计的问题蕴藏着丰富的数学模型，探究活动从此图形中的四对相似三角形入手，思辨认知起点低，切入口小，图2蕴含了丰富内涵与意义，即⊙O内接四边形ABCD的形状变化是系列问题探究发展的主线，为学生的思维活动提供了一个探究平台，设计探究⊙O内接四边形ABCD相关线段位置关系和线段长度、相关线段与⊙O半径的数量关系是实施变式教学的支点，在拓展学生思维的同时，突出知识本质，帮助学生主动构建圆内接四边形的知识体系，提升数学素养.

2.明晰目标，启迪思维

以上述问题为几何模型，变化条件，提炼出最具教学价值的核心内容，生长图形变式问题，把圆周角、等腰三角形等特殊图形的相关性质为思维起点，转化到寻求相似三角形所对应的角、边之间的数量关系，深挖基本图形的模型功能，在比较图形、类比方法、迁移问题

变式1 如图3，⊙O中，弦BA、DC延长线相交于点P，DA=AP，求证：BC=PC.

图3

解析：易知由∠B=∠D=∠P，有BC=PC.

变式2 如图4，⊙O中，弦BA、DC延长线相交于点P，若AD经过圆心O，且DC=CP，求证：BC=DC.

图4

解析：连接AC，证AC垂直平分DP，有AD=AP，∴∠D=∠P，证∠B=∠P，有BC=PC，又DC=CP，∴BC=DC.

变式3 如图5，⊙O中，弦BA、DC延长线相交于点P，若BD=BC，求证：BD2=BA·BP.

图5

变式1问题导向由简单直观型知识结构向拓展抽象型知识结构延伸，变式2和变式3以变式1为基础，图形变化而方法不变，实现了原有知识、经验基础上的主动建构，有效迁移应用到新情境的过程，逐渐完善了学生的数学知识体系.

3.有序递进，内化提升

一个主题，立足一类问题，变化图形结构，发散数学思维，教学设计力求以少换多，以少求高，让数学思维更加高阶；通过变化圆内接四边形的位置，由特殊的位置变化引发相关线段的数量关系的求解的深度思考，以少博深，拟达成对数学知识的深度理解.

变式4 如图6，⊙O中，AD为⊙O直径，AD=AP，弦BA、DC延长线相交于点P.

图6

(1)求证：DC=CP；

(2)若BC=3，DC-AC=2，求此⊙O的半径；

(3)在(2)条件下，求弦AB长.

变式5 如图7，⊙O中，弦BA、DC延长线相交于点P，AP平分∠EAC.

图7

(1)求证：∠BDC=∠BCD；

(2)若BA·BP=12，AD是该⊙O的直径，BA=2，求CP长.

变式问题旨在潜移默化的解决一类问题过程中优化学习策略，而不强求急于求成，设计有序的由浅入深的问题串，循序渐进，数学思维训练拾级而上.变式4和变式5富有层次性和可操作性，引导学生联系⊙O直径与相关线段的数量与位置关系，把分散的条件集中到特殊的直角三角形中，再通过三角形相似的性质求解问题，以已建立的几何模型为台阶，一步一个脚印，合情合理地提升学生的变式思辩能力，用批判性的眼光去审视图形的内在变化，真正理解基本图形的模型功能.

4.逻辑推理，深层理解

变式问题的目的在于通过设计“核心问题”辨析图形特征，拓展几何模型，帮助学生深刻理解知识的内在逻辑.设计“核心问题”的意义就是问题引领或问题驱动，用“核心问题”博得学生深层次思考，继续变式问题由特殊线段数量关系的探究过渡到探寻特殊角的数量关系，迁移方法，形成策略.

变式6 如图8，⊙O中，弦BA、DC延长线相交于点P.

图8

(1)∠DEC=∠DPB，求证∠DBA=∠DCA；

(2)若∠DEC=∠DPB=42°，求∠D度数；

(3)若∠DEC=α，∠DPB=β，且∠α≠∠β，试用∠α、∠β表示∠D的大小.

在学生已有的认知基础之上，以整体关联为突破口，将变式问题中的知识结构转化成学生的认知结构，以“数学核心问题”促进学生结构化思维的发展，变式6引导学生进行多角度的探究与思考，培养学生多向思维，更深层次地理解问题表征，变式6从特殊到一般情形，探究∠α、∠β与∠D的数量关系，合理转化至“三角形内角和”的性质，变换了问题中非本质的特点，引导学生从不同的角度加深对基本模型的认识.

实施变式教学的重要原则是变式的合理性，不是单纯地变式问题中的条件、结论，不是让学生在重复训练中掌握知识，而是通过多样性、具有思维深度的变式训练获得数学的一般研究方法，获得“透过表面想本质”的高阶思维的能力，用“数学核心问题”引导学生去辨析、反思中认清变化的图形背后不变的几何模型，从不变的本质中探求出变的规律，从而优化学习策略，真正提高学习效益.