基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建

姚海燕

(聊城大学东昌学院，山东 聊城 252000)

1 引言

在现代社会中作为人类获取外界信息的重要途径，图像占据了非常重要的地位[1]。图像拍摄过程中，场景中物体的运动或机器的抖动会使图像模糊，严重影响后续的图像处理工作，对图像的使用产生影响[2]。在退化模糊图像处理中通过一定的方法能够达到恢复出包含丰富信息的、清晰的图像复原目的。作为计算机视觉领域和数字图像处理领域的重要研究课题，图像复原技术被广泛地应用在各个领域中，如军事、摄影、天文学探测、医疗事业与光学等领域中，具有非常重要的现实意义和理论意义[3]。但是当前退化图像盲复原方法存在复原效率低和复原程度低的问题，需要对退化图像盲复原方法进行研究与分析[4]。

王灿进、石宁宁、孙涛等人提出基于光纹特征的退化图像盲复原方法，该方法对退化图像进行降采样处理，构建尺度金字塔，提取光纹特征图像块，估计模糊核、更新光纹参数，通过能量函数实现退化图像的复原，但是该方法在复原退化图像的过程中，操作步骤复杂，所用的时间较长，导致复原效率较低[5]。余义斌、彭念、甘俊英提出基于变量分裂法的退化图像盲复原方法，该方法通过变量分裂法在凹凸范数比值正则化先验项的基础上对模型进行求解，通过L1范数保真项对图像进行更新估计，由粗到细逐步通过线性递增权重参数估计模糊核，通过封闭阈值结合模糊核对退化图像进行复原，该方法得到的复原图像与实际图像之间的吻合度较低，存在复原程度低的问题[6]。胡子昂、王卫星、陆健强等人提出基于视觉信息损失先验的退化图像复原方法，该方法在视觉特性的基础上对图像进行划分，获得三个不同的视觉区域，根据视觉先验信息构建视觉信息损失函数，针对透射率取值范围通过像素值溢出映射规律进行约束，采用随机梯度下降法在散射模型中引入最小透射率，实现退化图像的复原，该方法同样存在复原所用时间较长，复原效率低的问题[7]。

针对上述传统方法存在的复原效率低和复原效果不佳的问题，本文提出基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法，运用该方法实现对退化图像的优化，提升图像质量，为图像处理领域处理图像提供参考。

2 退化图像去噪处理

在对退化图像进行盲复原之前，需要对图像中的噪声进行去除，以此来保证复原后图像的精准性，同时，还能够缩短复原所用时间。本文采用贝叶斯萎缩方法优化阈值选择，对退化图像做二维离散小波变换，在此基础上采用高频系数进行离散Curvelet变换，根据变换结果对阈值进行估计，从而获取最优阈值，完成对退化图像的去噪，具体去噪过程如下。

假设图像的退化模型为g(x，y)=f(x，y)+n(x，y)，(x，y)∈Ω表示图像对应的空间坐标，其中Ω为图像域；g(x，y)表示观测的退化图像；n(x，y)表示高斯噪声；f(x，y)表示原图像。

基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法采用基于Wrapping算法实现快速离散Curbelet变化。根据连续的Curvelet变化，给定图像函数为f(x)∈L2(R2)，采用图像信号与基函数的内积形式稀疏表示图像信号，并运用下列公式描述图像f的Curvelet变换

(1)

式中，i表示方向变量；j表示尺度变量；k表示位置变量；φ表示导函数；φi，j，k表示Curvelet基函数。

(2)

式中，ω表示笛卡尔坐标系中的频域变量。

设f[t1，t2]表示笛卡尔坐标系中存在的图像，对上式进行WDCT变换，获得子带系数CD(i，j，k)，其表达式如下

(3)

设γ、θ表示频域对应的极坐标；对射线窗口(Wj)j≥0进行重新定义，Wj(ω)=W(2-jω)，通过下式对窗口进行描述

(4)

式中，Φ表示一维低通窗口的积，其可通过下式计算得到，在区间[0，1]内取值，在区间[-2，2]内消失，在区间[-0.5，0.5]内可能为1。

在笛卡尔坐标系中，设Vj表示角度窗口，其计算公式如下

(5)

(6)

在WDCT算法中，对阈值和阈值函数进行准确选取是十分关键的，其中，常用的阈值处理函数主要有软阈值函数和硬阈值函数[9]，基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法采用软阈值函数δT(x)，其表达式如下

(7)

式中，T表示阈值；x表示子带分解对应的水平方向。通过尺度参数ξ对阈值T进行计算

(8)

式中，N表示系数CD(i，j，k)对应的维度；Q表示图像信号分解层数。

通过上述分析，对式(1)做WDCT变换，获得下式

Ci，j=Xi，j+Vi，j

(9)

式中，Ci，j表示变换后与观测图像g(x，y)对应的子带系数；Xi，j表示变换后与原图像f(x，y)对应的子带系数；Vi，j表示变换后与噪声n(x，y)对应的子带系数。

由于原图像f(x，y)与噪声n(x，y)之间是相互独立的关系，因此在上式的基础上可以获得噪声方差的计算公式

(10)

式中，Median(|Ci，j|)表示给定数值|Ci，j|对应的中值函数。

(11)

通过上述过程获得去噪的最优阈值，实现退化图像的去噪处理的最终结果

(12)

3 退化图像盲复原数学模型

根据图像去噪结果，构建退化图像盲复原数学模型时对约束条件进行离散化处理，实现对退化图像的盲复原，具体过程如下

(13)

(14)

式中，L(x，k)表示能量函数。

采用梯度下降方法，通过上述过程更新(x，k)，从而得到微分方程的演化过程，即迭代公式

(15)

式中，(sx，sk)表示(x，k)对应的更新步长；(∂x，∂k)表示(x，k)对应的偏导数；Pk表示投影算子。

结合上述公式引导图像在第t次迭代过程中的更新如下

(16)

式中，ηg表示权重参数。

设ρ表示径向基函数，当ρg趋近于无穷时，通过半二次优化方法对上式进行改进

(17)

(18)

其中

(19)

用一组基函数的和描述卷积滤波器，设F=[f1，f2，…，fd]，表示线性无关单位滤波器，此时存在下式

(20)

式中，θ表示权重系数，通过上述过程构建能量函数对f进行训练

(21)

分析处理退化图像盲复原的过程可知，参数φ的主要作用是约束图像稀疏化程度，与l1范数相似[10-11]。基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法选用一组径向基函数当作基函数，可以减少学习的参数，降低退化图像盲复原的复杂程度，对稀疏测度进行拟合

(22)

式中，ϑj表示权重参数；cj表示位置参数，存在于基函数中。

为了使真实的清晰图像稀疏性分布与潜在图像的稀疏性分布接近，引入清晰图像数据进行训练[12]。

为了在微分方程中学习权重参数ϑj，采用估计误差和最小化重构误差的能量函数在第t次迭代中进行训练

(23)

式中，ηφ表示估计误差和重构误差之间的权重。

基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法在链式法则的基础上构建最终的退化图像盲复原数学模型为

(24)

通过上述过程，完成对基于微分方程的退化图像盲复原数学模型的构建，降低了图像复原的复杂度。

4 实验结果与分析

为了验证基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法的整体有效性，需要对其进行测试。

4.1 实验参数设置

本次测试在微机(Intel(R) Core (TM) i5-4590S CPU，4.00GB)的条件下进行，分别采用基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法(本文方法)、基于光纹特征的退化图像盲复原方法(文献[5]方法)和基于变量分裂法的退化图像盲复原方法(文献[6]方法)进行测试。通过人工合成的数据集验证不同方法对退化图像的复原效果，该数据集包括3个属性，6个类，共含有12000个不同类型的图像，并在Matlab平台下，实现对图像与数据的处理。

4.2 复原时间对比

选取数据集中的300幅退化图像进行盲复原处理，对比三种不同方法的复原时间，测试结果如图1。

图1 不同方法的复原时间对比结果

分析图1可知，多次迭代中，本文方法复原退化图像所用的时间均在1.3min以内；文献[5]方法在多次迭代中复原退化图像所用的时间最高达到了3.0min；文献[6]方法在多次迭代中复原退化图像所用时间与文献[5]方法所用时间较为相似。对比上述方法的测试结果可知，本文方法所用的复原时间最短，因为该方法选用一组径向基函数当作基函数，减少了学习的参数，降低退化图像盲复原的复杂程度，缩短了复原退化图像所用的时间，因此提高了退化图像盲复原的效率。

4.3 复原程度对比

为了验证本文方法的全面性，以复原程度作为对比指标，该指标能够直接反映图像复原效果，分别采用本文方法、文献[5]方法和文献[6]方法对退化图像进行盲复原，对比三种方法的复原程度，测试结果如图2所示。

图2 不同方法的复原程度对比结果

分析图2可知，本文方法在多次迭代中，获得的复原程度较高，最高可达75%，并且持续保持较高水平，相比较之下，文献[5]方法和文献[6]方法在多次迭代中，获得的最高复原程度分别仅在55%和67%左右。对比上述退化图像盲复原方法的测试结果可知，本文方法的复原程度最高，因为该方法引入清晰图像数据进行训练，使真实的清晰图像稀疏性分布与潜在图像的稀疏性分布接近，提高了复原程度。

4.4 复原效果分析

为了直观地显示本文方法的复原效果，选取某退化图像作为原始图像，对其进行复原，效果图如图3所示。

图3 盲复原效果图

分析图3可知，经过本文方法复原后，图像中的细节更明显，原始图像中不清晰的部位得到了有效恢复，提升了图像的视觉效果。

通过上述实验结果，充分验证了基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法的有效性，说明该方法对退化图像进行盲复原之后，图像效果较好，可为相关领域在图像应用方面提供帮助。

5 结束语

图像受成像系统结构及其它因素的影响容易出现退化现象，导致图像出现畸变，对目标跟踪、探测和定位结果产生影响，因此退化图像盲复原方法成为目前研究的热点。针对当前退化图像盲复原方法存在复原效率低和复原程度低的问题，提出基于微分方程的退化图像盲复原数学模型构建方法。经过实验验证可知，本文方法可在较短的时间内有效地完成退化图像的复原，并且复原后图像的效果较好，有效解决了当前方法中存在的问题。虽然本文方法取得了明显的进步，但是由于没有考虑到光线强度等因素的影响，导致复原结果还存在一定的不足，因此在接下来的研究中，将充分分析各项因素，进一步完善该方法。