“基本图形”在立体几何问题中的应用教学设计与反思

西北师范大学附属中学 黄少龙

教学内容：应用“基本图形”求解立体几何中的一些常见问题，尤其是多面体的外接球问题。

教学目标：

1.掌握课堂探究的“基本图形”结果，并应用学习的“基本图形”解决课堂问题；

2.通过课堂学习，使学生意识到“基本图形”对解决立体几何问题的帮助，并能积极主动的探索“基本图形”。

教学重点：

1.“基本图形”——特殊的三棱锥；

2.应用“基本图形”求解。

教学难点：

1.学生的“基本图形”知识储备较少；

2.学生应用“基本图形”解题的主动意识不足。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

师：同学们，在今年的6月17日上午9时22分，我们的神舟12号载人飞船成功发射，并且它与我们的中国空间站核心舱天和号也成功完成对接。未来的3个月里3位宇航员将进行各种实验工作，为2022年中国空间站的建成做好准备。这一伟大事件标志着中国的航天技术已经完成了历史的飞跃！

师：（PPT展示中国空间站的结构图）请问同学们，看到中国空间站的结构图，你有所联想吗？

生：积木、乐高、变形金刚、十字架、鲁班锁……

师：（PPT展示孔明锁与榫卯结构图）嗯！在我们为之自豪的同时也勾起了我们很多的童年回忆。我和同学们有同感，让我想起了自己小时候玩过的鲁班锁，也叫孔明锁。谁能说说它们有什么相似之处呢？

生A：都可以改变原来的样子。

生B：准确地说是都可以组合成新的样子。

师：嗯，两位同学说得很好！第二位同学表达的更加准确。虽然两者不可同日而语，但它们都可以通过相互嵌入（榫卯）的方式构成新的样子和形状，有着异曲同工之妙。我们可以看到，空间站由五个不同的部分组合而成，每个部分都有自己相对独立的功能，组合在一起有更强大的作用。2024年后的10到20年，中国空间站将是太空中唯一的空间站，它将在空间技术探索以及空间技术合作方面发挥巨大的作用。想到这里，大家考虑一下，在立体几何问题中我们常用的“割补法”——将一个图形分割或弥补成形状相对简单、性质相对更好的“基本图形”，在解决一些复杂问题时是否更加有效？

生：是的。

师：那么，今天老师带着这个想法和同学们再探究竟。开始之前，我们再次明确本节课所提出的“基本图形”的概念——图形相对简单且几何性质较好，可以用来构成（切割或弥补）复杂几何体的图形。

（板书课题：“基本图形”在立体几何问题中的应用。）

二、解题探究，技能学习

“基本图形”应用的有效性由两个因素决定：一是学生的知识体系中的“基本图形”的储备量；二是主动应用“基本图形”的思维意识。为解决好这两个难点，教师在课堂上的一个重要工作就是做好解题前的引导与铺垫工作，因此课堂教学以问题串的方式展开与深入。

1.思考题1的探究学习

思考题1：已知在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

师：平面图形的折叠问题在立体几何问题中常见，此类问题的解决核心在于将折叠前后的“变与不变”分析清楚，即前后的数量（线段长度、角度等）和位置关系（平行、垂直、分点位置）是否发生改变要分析到位，为后续的进一步求解做好切实的准备。请问，本题中的等腰梯形折叠后得到了怎样的图形？

（学生进行思考、讨论，约1分钟。）

生：是三棱锥（四面体）。

师：很好！那所得三棱锥的条件如何？折叠前后的“变与不变”有哪些？

生C：是一个正三棱锥。

生D：是一个正四面体，且棱长为1。

师：两个同学回答很好，都是对的！不过，第二位同学的判断更加到位，折叠后的图形确实是一个正三棱锥，不仅如此，它的条件更好，是正四面体，根据原有的数据判断，它的棱长为1。谢谢两位同学。

师：接下来，我们要求解它的外接球体积了。这种多面体与球体的接（切）问题是近年考题中的常见问题，难度中上，一般都考查欧氏几何的传统方法的应用。此类问题的关键是找到“球心”。这也是这道题的难点所在，请同学进一步思考，努力突破它。

（学生独立思考后同周围学生展开合作讨论，约3分钟。）

师：哪位同学有解决办法？

生E：我的方法如下：作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥平面AEC.则垂足H为△AEC的中心.∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知

师：这位同学的方法很好，他找球心的方法是利用正四面体的对称性，确定外接球心即体对称中心，然后应用初中所学的相似三角形通过解三角形既完成了球心位置的确定，又计算出了外接球的半径大小，进而求出了外接球的体积，计算结果正确无误。有哪位同学的方法比这位同学的更快呢？

生F：我有。我利用了“割补法”，将这个正四面体补形为一个正方体，然后求解的。这样计算量更小，速度更快！如图所示，把正四面体放在正方体中.可得，正四面体的外接球就是正方体的外接球。

师：大家鼓掌！大家看到了吗？这位同学恰恰应用了一个性质更好的“基本图形”——正方体，通过“割补”的方法将问题更有效的解决了！当然，能想到这个方法需要你对正方体有足够的掌握，所以说，想应用好“基本图形”有效解决立体几何问题，在平时的学习中就要多去留意这些功能很强的“基本图形”。老师对这些“基本图形”有一个整理，大概有16个，将来会教大家一个一个都找到并掌握它们，好吗？

生：好。

师：将来大家手里有了这些“法宝”，做立体几何题就会占得先机，事半功倍了！下面，请跟随老师探索一个非常有用的“基本图形”。

2.思考题2的探究学习

思考题2：（人教A版必修2第67页练习题）过所在平面 α 外一点 P，作 PO⊥α，垂足为 O，连接 PA，PB，PC.若PA=PB=PC，∠C=90°，则点 O 是 AB 边的点？

师：之前有同学课下问到了这道题如何解答，和这位同学讨论的过程中，我们发现这里隐藏着一个很有应用价值的“基本图形”，为了方便探究，老师将条件适当做了改变，下面我们一起来看看变式探究，得到结果后再回头研究这道练习题。

变式探究：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC与底面所成角相等，试判断点P在底面ABC的射影的位置？

师：本题所问的射影位置应该是底面三角形的特殊位置，请同学们展开讨论，看看它到底有多特殊？

（学生展开讨论，约2分钟。）

生G：老师，我们刚才讨论出的结果是，这个射影是底面三角形的外心（外接圆的圆心）。

师：好的，其他同学们认为这个结果对吗？……看来，有同学可能对三角形的几颗重要的“心”概念模糊了，没关系，我们稍做一个回顾，明确概念……（教师引导学生将三角形的外心、内心、垂心做了简单的复习，约2分钟。）

师：同学们在一起看看这几位同学的结果对吗？

生：对！

师：请这位同学把他的推证过程给我们说说吧。

生G：我主要是利用全等三角形做出了推证。连接OA，OB，OC，那么可以应用初中平面几何知识里的“HL公理”证明三个三角形全等，从而OA=OB=OC，所以它就是三角形的外接圆圆心。

师：很好！这个过程显示出这位同学对“HL公理”有足够的掌握，那么应用这个“基本图形”也就信手拈来。

师：看来，只要三棱锥（四面体）的侧棱长相等，顶点在底面的射影一定是底面三角形的外心。反之成立吗？同学们再思考一下它的逆命题如何？

（学生继续展开讨论，约1分钟。）

生：逆命题成立……还是用全等三角形证明……

师：（PPT展示探究成果）同学们很棒，一点就通！的确，逆命题也成立！那么，根据四种命题的关系，将来我们使用这个结论就很自如了！好了，现在我就可以将这个结论作为一个“基本图形”收入囊中！

师：现学现用，请问同学们，思考题2的结果是什么？

生：中点。

师：对！因为题中的三棱锥满足了我们这个“基本图形”的条件，所以结论是外心，而底面三角形又是直角三角形，外心只能是斜边（AB）的中点！接下来我们一起再用今天所学的“基本图形”向一道题做出挑战！

3.思考题3的探究

思考题3：已知平面图形ABCD为矩形，AB=4，△PAD是以P为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将△PAD沿着AD翻折至△P'AD，当四棱锥P'-ABCD体积的最大值为时，四棱锥P'-ABCD的外接球的表面积为（ ）

A.12π B.16π C.24π D.32π

师：这道题的解答关键还是要确定好外界球球心的位置所在。请同学们悉心作答，独立思考，看看有几种方法求解？

（学生独立思考，作答约3分钟。）

师：请在第一时间找到解法的同学举手示意。

（教师在课堂巡视，和已有解法或思路的学生简单交流，约3分钟。）

师：好的，下面我们请几位同学将自己的方法和大家做分享。

生H：我是建立了空间直角坐标系，然后用空间向量解析法去求解的。因为折叠后达到体积最大值时，平面P'AD一定是和底面垂直的，此时过P'点做底面的垂线垂足即为边AD的中点，记作H点，这样就可以H点为原点，HP'、HD、HE（过H在底面作HE⊥AD）为坐标轴建系了，接下来应用坐标法去求解，但是计算量较大，几分钟时间里还未算出结果……

（其他学生主动举手，跃跃欲试，老师示意下一位学生发言。）

生I：我将折叠后的四棱锥补形为以△P'AD为底面的直三棱柱后进行求解的……

生J：我应用了今天所学的“基本图形”立即确定了外接球球心就在底面矩形的对称中心（底面矩形对角线交点）……

生K：我也是补形做的。我是在I同学的补形基础上再对称补形为一个长方体，这样就和J同学一样可以迅速确定外接球球心就在矩形ABCD的对称中心，实际就是这个长方体的体对称中心，然后就能容易求解出答案，选择C.

师：同学们太棒了！各种解法思路百花齐放，效率高低大家也一目了然，尤其是后面发言的两位同学的解法很精彩，通过“基本图形”的应用，立即化繁为简，达到迅速求解的目的。通过刚才大家的一番交流，再次验证了“基本图形”的作用不容小觑。谢谢这几位同学，掌声鼓励！

三、课堂小结

师：今天，老师和同学们一起探究了一个命题，今后大家可以将它以“基本图形”的方式补充在我们的立体几何知识里，在一些多面体的外接球问题中，经常可以看到它的身影，有了它的作用，我们必定能提高解答这类题的效率。

另外，老师想通过这堂课传递一个在数学学习上的重要信息：在平时的学习中多去积累一些作用类似“基本图形”的二级结论，对于一些中高难度的题目，往往就可以通过这些结果寻求到最有效的解答途径，这是数学高手常用的一种处理难题的思维方式，同学们不妨试一试。

最后，为了巩固今天所学，老师给大家留一道课后思考题：试用今天探究的方法，在横线上填入适当的条件，完成下面命题的研究。

命题：已知三棱锥P-ABC中，点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心（内心）。其逆命题成立吗？

反思：

本节课是基于人教A版必修2的一道练习题的探究。在探究过程中，学生发现了在侧棱长相等的条件下，顶点在底面的射影是底面多边形的外心（外接圆圆心）这一结论。探讨过程中，我们不仅解决了练习题的求解，而且衍生出了一组相关结论，可以改变条件后，得到三棱锥顶点在底面射影是底面三角形的垂心、内心，这在解答立体几何题，尤其是研究多面体与球体的切接问题上，有很大的帮助。

教师和学生探讨问题的过程也是互相激发智慧的过程，笔者在课后进行了进一步的深入思考，意识到学生的这一点思维的火花可以引燃出学生数学学习和解题的一种思维方式——积累出有效的类似“基本图形”的二级结论，高效解题。学生在进入课堂听课，走进考场答题，乃至学习任何新知识时都不是头脑空白的在完成任务，一定是基于头脑中以前所形成的相关认识和知识做出反应，形成正确或不正确的认识，整个学习过程就是新旧知识不断地交互、积累形成知识网络甚至体系。学生的知识掌握程度高低，往往就要通过学生解题的效率体现，而解题的成败就要基于知识体系的完备状况和解题能力的储备状况，这两点就要靠平时的训练来达成。但是，多年的一线工作经验表明，学生在平时的学习过程中往往是被动接受知识，主动探究形成知识的情况很少，而大部分类似“基本图形”的二级结论都是隐藏在题目中，教辅资料里，甚至是一些阅读材料里，不是作为教材主题内容呈现出来的。因而，靠课堂和老师教给学生显然是不够的，尤其是学优生更需要这方面的补充，以体现这些学生的优势。教师应该有责任教给学生尤其是学优生如何用科学的态度和方法去发现、整理、应用这些二级结论。