基于多重广义Hough变换的多星时频差联合定位方法

孙 哲，霍立寰，柏如龙，陈 兵，马 飞，江 漫

(1.海装驻邯郸地区军事代表室，河北 邯郸 056000；2.中国电子科技集团第五十四研究所，河北 石家庄 050081；3.河北省电磁频谱认知与管控重点实验室，河北 石家庄 050081)

0 引言

无源定位技术无需向待定位目标发射探测信号，利用被动接收的目标辐射的电磁波信号，基于相位差、时频差等信息对目标进行无源定位[1-2]。近年来，随着卫星通信技术和相关业务的飞速发展，地面干扰源对卫星通信的威胁也在日益增加。因此，有必要开展卫星平台的无源定位技术研究。现有的卫星干扰源定位系统以美国的TLS2000系统和英国的satID系统为代表，这些系统采用双星时频差定位和三星时差定位等方法，能够快速、准确地发现广域范围内的干扰源目标，在民用和军事领域都有着重大的应用潜力[3-4]。

基于时差和频差等信息的定位体制是目前主要的卫星无源定位方法，利用时频差信息，近年来发展出了多种求解方法[5-14]，大致可以分为迭代类、解析类以及近年来发展的智能算法类。解析类方法包括Chan算法、泰勒级数展开法，这类算法对时频差测量精度和目标初始值的要求较高。迭代类方法一般以圆球模型近似地球WGS-84椭球模型，利用解析方法计算圆球模型下的定位结果，并逐步迭代逼近真实值。该方法计算简单，但是算法灵活性较差。智能算法类是近年来发展起来，旨在解决传统的搜索法计算量大的问题。本质上，多星定位问题实质上是等时/频差线的交会定位问题。而这种点-线的映射关系，与Hough变换实现的是一种从图像空间到参数空间的映射关系[15-16]。因此，可以将霍夫变换引入到多站时频差定位中，灵活地实现多时差/多频差的单参数定位或多参数联合定位。然而，传统的基于Hough变换的定位方法[17-18]仅从原理上进行了验证，没有考虑时差和频差的参数不一致性，实际应用存在困难。

近年来提出的广义霍夫变换(Generalize Hough Transform，GHT)模型在特征检测、可视化分析方法中得到了广泛应用，通过将图像空间与参数空间灵活映射，代表了从统计角度解决问题的新思路。针对传统的多星时频差联合定位方法推导复杂、计算量大和难以扩展的难题，本文将多星时频差定位转化成多个双星时频差定位的组合，基于双星时频差定位原理构建GHT模型，并且利用每个双星组合的定位几何稀释度(Geometric Dilution of Precision，GDOP)，提出了加权融合的多星时频差定位模型。相比传统方法，本文方法实现简单，并且适用于任意卫星数量、任意卫星构型的时频差定位，能够实现更高的定位精度，并且对时频差测量误差具有良好的稳健性。

1 多星时频差定位模型

多星时频差定位模型可以看作多个主星与辅星构成的双星定位模型的组合，如图1所示，首先给出了双星时频差定位模型。干扰源目标向主星发射干扰信号，同时信号旁瓣泄露到辅星上。通过时频差测量方法能够获得干扰源在主星信号和辅星信号的到达时间差(Time Difference of Arrival，TDOA)和到达频率差(Frequency Difference of Arrival，FDOA)。TDOA在地球上对应着一条等时差线，即位于等时差线上的位置的时差相同；同样，FDOA在地球上对应着一条等频差线。等时差线和等频差线交会的位置，即为干扰源目标位置。

图1 三星干扰源定位示意Fig.1 Configuration of the tri-satellite interference source location

假设干扰源的坐标为(x,y,z)，某个时刻时主星坐标为(x0,y0,z0)，速度坐标为(vx0,vy0,vz0)，第l个辅星的位置坐标为(xl,yl,zl)，速度坐标为(vxl,vyl,vzl)，主星与第l个辅星的时差和频差分别为τl和fl，满足：

(1)

式中，c为光速；λ为信号波长；r0，rl分别为干扰源与主星、辅星的距离；v0，vl分别为主星和辅星相对于目标点的径向速度，即：

(2)

根据地球椭球面模型，目标位置满足：

x2/N2+y2/N2+z2/[N(1-e2)]2-1=1，

(3)

因此，多星时频差联合定位方程表示为：

(4)

2 多星广义Hough变换联合定位方法

霍夫变换利用了图像空间和参数空间的映射关系，能够有效地检测直线、圆等特征曲线。近年来，霍夫变换在特征检测、标志识别等领域得到了广泛应用。而多星时频差定位本质上是时差/频差与定位点的映射关系，能够利用GHT在一定的运算法则下进行表示，从而将多星定位问题转换为在霍夫空间下的求解问题，相比于传统的多星定位方法，实现简单并且易于扩展。

基于GHT，主星与第l个辅星的时差概率密度函数为：

(5)

主星与第l个辅星的频差概率密度函数为：

(6)

则主星与第l个辅星的时频差概率密度函数为：

(7)

考虑多星时频差联合定位的情况，不同辅星与主星的定位构型不同，所以对不同主辅星组合的时频差霍夫概率密度函数，需要由不同的加权系数。而GDOP是多星定位领域的一个重要的衡量标准，能够准确衡量不同定位组合的定位精度。因此，这里采用基于GDOP的加权融合方法，则多星时频差联合定位的霍夫概率密度函数表示为：

(8)

式中，wl为主星与第l个辅星的加权系数，即：

(9)

式中，GDOPl,l=1,2,…,L为主星与第l个辅星的双星时频差GDOP。

霍夫变换实质上是一种参数空间到图像空间的网格搜索映射法，霍夫变换精度的提高往往伴随着大的计算量。针对多星时频差联合定位，提出了多重Hough变换策略。首先在广域范围内进行粗精度的GHT，然后在搜索到的目标位置附近逐步进行下一重的更高精度的霍夫变换，直至定位结果趋于收敛，从而显著提升计算速度。

基于多重广义Hough变换的多星时频差联合定位方法步骤如下：

步骤1：初始化参数，经度搜索范围[Lon1，Lon2]，纬度搜索范围[Lat1，Lat2]，经度步进steplon，纬度步进steplat，时差测量精度στ，频差测量精度σf，多重因子μ。

步骤2：计算该重广义Hough变换函数，在经纬度的网格坐标中，根据式(5)和式(6)分别计算各个主辅星组合的时频差Hough函数，采用不加权的方式累加后获得经纬度的初估计。根据式(9)，以该定位结果计算各个双星时频差组合的GDOP和加权系数，根据式(8)获得最终的广义霍夫函数。对霍夫空间中的累积概率取峰值获得该重霍夫变换的经纬度估计结果，记为(Lonk,Latk)。

步骤3：计算下一重Hough变换的经纬度搜索步长steplon=steplon/μ，steplat=steplat/μ，经度搜索范围[Lonk-steplon,Lonk+steplon]和纬度搜索范围[Latk-steplat,Latk+steplat]。

步骤4：比较经纬度误差ε=|Lonk-Lonk-1|+|Latk-Latk-1|，若ε<0.000 1，则结束计算，输出定位结果；若不满足，则返回步骤2进行下一重的广义Hough变换。

3 仿真实验

3.1 算法有效性试验

首先仿真了理想情况下，多星时频差Hough变换的结果。主星选择中星10号，卫星轨位为110.5°E，辅星一选择中星12号，轨位为87.5°E，辅星二选择中星6A，轨位为125°E。目标经度为105.65°E，纬度为22.57°E，基于霍夫变换的时频差变换结果如图2所示。可以看出，时频差Hough变换的交点即为目标位置，并且在该时刻下，频差Hough变换之间的夹角更大，能够获得更优的定位精度。

(a) 时频差Hough变换三维图

(b) 时频差Hough变换二维图图2 时频差广义Hough变换试验Fig.2 The experiment of the GHT for TDOA/FDOA

定位精度24 h变化情况如图3所示，以实际的3星定位为例，验证了算法的有效性。主星选择中星10号，卫星轨位为110.5°E；辅星1选择中星12号，轨位为87.5°E；辅星2选择中星6B，轨位为120.5°E。目标经度为105.65°E，纬度为22.57°E。定位方法选择3星时差定位、3星频差定位以及本文所提方法。利用STK仿真某一天的卫星星历数据，间隔2 h进行定位。其中时差测量的均方根误差设为1.5 μs，频差测量的均方根误差设为10 mHz，蒙特卡洛次数200。可以发现，随着卫星运动，时差Hough定位和频差Hough定位的定位精度波动较大，而所提方法都能获得更高的定位经度。

图3 定位精度24 h变化情况Fig.3 The varies of the positioning accuracy in 24 hours

3.2 验证算法稳健性实验

多时刻定位方法性能影响试验如图4所示。以3星组合为例，利用STK仿真0时刻的卫星星历数据，仿真了不同算法在不同时差测量误差和频差测量误差时定位精度变化情况。图4(a)仿真了频差测量的均方根误差为10 mHz，蒙特卡洛次数为200时，定位精度随时差测量误差的变化情况。图4(b)仿真了时差测量的均方根误差为1 μs，蒙特卡洛次数为200时，定位精度随频差测量误差的变化情况。通过仿真实验可以发现，随着时差测量误差增加，所提方法的定位精度保持稳定，这是因为在该时刻定位精度受频差Hough的影响更大，导致联合Hough定位对时差误差不敏感；随着频差测量误差增加，所提方法能够获得更优的定位精度。

(a) 定位误差随时刻个数变化情况

(b) 定位误差随时长变化图4 多时刻定位方法性能影响试验Fig.4 The experiment of the performance in multi-time positioning method

4 结束语

多星时频差联合定位方法具有定位精度高、消除虚假点的优点。然而，传统的多星时频差联合定位方法过程复杂、计算量较大。本文提出了一种基于多重广义Hough变换的多星时频差联合定位方法，将多星时频差定位模型与广义Hough变换相互映射。通过多重搜索和GDOP的加权融合，在显著减小计算量的基础上，获得更加稳健的精确定位结果。本文方法实现了广义Hough变换在多星时频差定位领域的算法设计、性能分析和仿真验证，具有良好的工程应用参考价值。