一种低轨双星雷达信号无模糊频差估计算法

姚山峰，贺 青，欧阳鑫信，夏畅雄

(盲信号处理重点实验室，成都 610041)

0 引 言

低轨双星时/频差定位体制是一种高精度定位体制，它利用两颗卫星接收到的目标信号具有不同传播路径形成的到达时间差(Differential time offset, DTO)与低轨卫星高速运动产生的多普勒频移差[1]进行定位，综合了时差定位技术与频差定位技术的优点，具有定位精度高、时效性好、灵敏度高、卫星姿态要求低等优点。在定位系统建设确定以后，双星时/频差定位系统的定位精度主要取决于时/频差估计精度。因此，提高时/频差估计精度是提高双星时/频差定位精度的关键。然而，对于雷达信号而言，单个脉冲持续时间相对较短，不利于频差精确测量，同时脉冲的周期性极易导致频差估计出现模糊，这些因素导致雷达信号频差估计精度较低甚至无法有效估计，系统定位能力受限。

文献[2]研究分析了低轨双星时/频差定位算法与定位误差，仿真结果表明，频差对定位精度的影响较之时差更为显著。因此，对雷达信号频差的高精度无模糊估计，成为了低轨双星雷达信号定位中的瓶颈问题。不少文献对多普勒频移的精确估计进行了研究[3-5]，文献[6]通过多脉冲相干积累对雷达辐射源进行时/频差直接定位以改善定位精度，然而，这些文献未考虑脉冲串信号的周期模糊特性。文献[7]推导给出了脉冲串信号的时/频差模糊特性，对于频差估计，模糊间隔等于信号PRF，文中针对高脉冲重复频率(High PRF, HPRF)信号，提出利用无模糊的频差与频差变化率进行粗定位来消除时差模糊。然而，这种方法适用于PRF大于低轨双星频差取值范围的信号，对于LPRF雷达信号，无法克服LPRF带来的频差模糊问题。文献[8]提出了基于相参脉冲积累的频差测量方法，由修正Rife算法[9]对多个脉冲分别进行频率估计，然后对下变频后的相参脉冲串每个脉冲内部的样点累加求和提升信噪比，以利于精确的频率估计，最后直接相减两路信号的频率获得频差测量值。这种方法有效的前提是频率粗估的误差必须小于PRF的一半，试验表明，频差测量精度可以达到赫兹量级。

本文首先从低轨双星定位系统的定位原理出发，分析了相参脉冲串信号的模糊特性；利用基于二阶统计量的互相关法获得高精度的时差测量值，再根据时差差分可以获得无模糊的频差粗估值，提出了一种基于时差差分解频差模糊的方法；最后，仿真试验将算法有效性进行了校验，并通过Monte-Carlo仿真对本文算法性能与理论CRLB[10]进行了对比分析，结果表明当信噪比高于15 dB时，频差估计精度优于50 mHz，逼近克拉美劳下界。

1 信号时差/频差模型

低轨双星时/频差定位系统由相邻的两颗低轨卫星组成。由于主星和邻星物理位置不同，导致信号的传输路径不同，两颗卫星接收到的信号具有不同的时延，形成到达时间差DTO；同时，由于两颗卫星的运动使得卫星速度矢量在目标源与地面接收站之间的径向方向上的投影不同形成多普勒频率差DFO。通过测量地面/海面辐射源信号到达两颗卫星的到达时间差与频率差，利用到达时间差、频率差与目标辐射源之间的几何位置关系就可以确定目标辐射源的位置，实现对目标辐射源的高精度定位。图1给出了低轨双星时/频差定位的原理示意图。

假设在地固坐标系下，两颗卫星的位置矢量分别为rs1=[xs1,ys1,zs1]T、rs2=[xs2,ys2,zs2]T，速度矢量分别为vs1=[vx,s1,vy,s1,vz,s1]T、vs2=[vx,s2,vy,s2,vz,s2]T，辐射源位置矢量为r=[x,y,z]T。根据图1的几何关系，可得两颗卫星接收信号之间的时差τ与频差ξ的数学表达式：

(1)

(2)

式中：fc是辐射源信号载频，c是光速，ui(r)定义为从r到rsi的单位矢量：

(3)

设两颗卫星的观测噪声分别为n1(t)和n2(t)。于是，低轨双星接收到的信号可以表示为

(4)

下面给出了低轨卫星轨道高度为700 km，两颗卫星星间距70 km时，对某一固定位置的地球表面目标辐射源，在整个过境期间，两颗低轨卫星接收信号多普勒频移与多普勒频差的变化曲线。某一时刻低轨双星接收信号的频差在地球表面的分布图如图3所示。其中，假设目标辐射源信号载频为500 MHz，图中频差单位为Hz。

图2、图3分别从时间维度与空间维度上面给出了低轨双星接收信号的频差变化趋势。从图2、图3可以看出，当卫星过顶，即目标位于星下点附近时，频差取值变大。当载频为500 MHz时，在整个覆盖范围内，频差取值范围可达1000 Hz以上；当载频为5 GHz时，根据式(2)，频差取值范围超过10 kHz。如此大的频差取值范围已经远远超过了LPRF雷达信号的PRF，此时利用常规方法进行频差估计将会存在模糊，具体原因见第2节。

2 相参脉冲串信号时差/频差联合估计

时差/频差估计问题存在于许多应用领域，如声呐、雷达、生物医学和地球物理等。关于雷达信号的时差提取，目前主要有两种方法：一种是视频检波测量时差法，一种是中频互相关测量时差法。前者通过对下变频后的信号进行视频检波获得幅度包络，测量脉冲包络的上升沿或者下降沿得到脉冲到达时间，然后比较各个副站与中心站的到达时间，得到到达时间差；这种方法对采样率与信噪比要求较高，并且不适用于具有缓慢上升/下降沿的信号[11]。后者对各个接收站的中频信号进行互相关运算，通过搜索相关峰位置获得时差估计值；这种方法对采样率与信噪比要求不高，更易得到高精度的时差估计结果。目前，以互相关、互模糊函数(Cross-ambiguity function, CAF)为代表的基于二阶统计量的时差/频差联合估计算法[12]得到了广泛的应用。

低轨卫星接收信道特性较为理想，可以认为信号只受到高斯加性噪声的影响，不存在多径效应。因此，可以对信号和噪声作出如下假设：接收信号的基带信号是零均值的各态历经信号，噪声为加性带通高斯白噪声，与信号独立，且噪声之间相互独立。利用互模糊/互相关函数可以有效地抑制噪声的影响，获得较高的时差/频差估计精度。

两路信号s1(t)与s2(t)的CAF定义为

A(τ,ξ)= |χ(τ,ξ)|=

(5)

实际上，CAF是基于信号广义互相关的一种时频二维表示，其每一维运算可以看成一个相关运算，因此信号的相关性直接影响CAF的计算结果。当τ-τ0=0,ξ+ξ0=0时CAF取得最大值，从而实现两路信号之间的时差、频差估计。即：

(6)

现代雷达大多采用全相参体制，发射相参脉冲串信号，同时利用信号的幅度与相位进行脉冲积累。相参脉冲串信号的数学模型可表示为[13]

(7)

式中：tp为脉冲宽度，Tr为脉冲重复间隔(Pulse repetition interval, PRI)，φ0为初始相位。

(8)

N个脉冲的相参脉冲串信号的归一化复包络可表示为

(9)

将式(9)代入式(5)，可得相参脉冲串信号的模糊函数为[13]

(10)

其中，

(11)

式(11)为单脉冲u1(t)的模糊函数。可见，相参脉冲串的模糊函数是单脉冲模糊函数的加权叠加。其中，零时延切面的速度模糊函数为

(12)

图4给出了PRF分别为10 kHz与300 Hz，PW为20 us的脉冲串信号CAF的频差切面(零时延切面)图。可见，在图4(a)的频差切面上，周期多普勒频差相关峰的峰间间距PRF=10 kHz，峰值大小以sinc函数作为包络进行变化。可以看出，当PRF变小以后，频差切面相关峰之间的间隔变小，变得更为密集。

对于脉冲串信号，由于其零时延切面存在多个多普勒峰，PRF越小，多普勒峰之间的间隔越小。受噪声与分辨率的影响，在搜索最大峰值时，有可能搜索到其他的多普勒峰上，模糊多普勒峰间隔与信号的PRF有关。

为了衡量脉冲串信号在进行频差估计时，搜索到模糊多普勒峰上的概率，定义脉冲串信号频差估计模糊度为速度模糊函数中，模糊多普勒峰值高于真实多普勒峰值的概率。模糊度越高，搜索到模糊峰的概率就越大；当模糊度等于0时，频差估计不会发生模糊，也就是说，此时不会搜索到模糊峰上。

图5给出了PRF分别为10 kHz与300 Hz两种信号的模糊度曲线。从图5可以看出，对于HPRF信号，由于多普勒峰之间的间隔较大，不容易出现频差估计模糊；对于LPRF信号，由于多普勒峰比较密集，峰间间隔较小，受到噪声污染时很容易出现频差估计模糊。对于PRF=300 Hz的相参脉冲串信号，频差估计模糊度随着信噪比的增加而减小，当信噪比高于45 dB以后，频差估计模糊度减小至0。

图6为利用CAF对上述两种信号进行时差/频差联合估计的性能曲线。其中，脉冲积累个数为10。

由于两路信号脉宽相等、脉冲积累个数一样，因此时差估计精度基本一致。对于频差估计，理论上讲，PRF越低估计精度越高；但是，当信噪比较低时，PRF越低，频差估计模糊度越高，造成频差估计出现模糊，频差估计精度反而比HPRF信号差；当信噪比高于一定门限后，不再出现模糊，此时，频差估计精度优于HPRF信号。从图6也可以看出，当信噪比低于45 dB时，LPRF信号频差估计效果较差；当信噪比高于45 dB以后，由于不再存在频差估计模糊问题，LPRF信号频差估计性能逼近理论下界。

在低轨双星时/频差定位系统中，载频为500 MHz时的频差取值范围约为1000 Hz，当目标信号PRF小于1000 Hz时，频差估计将出现模糊。然而，不幸的是，低轨双星定位系统中关注的大部分预警雷达信号的PRF低于1000 Hz，对其进行频差估计时会得到模糊的估计结果。

3 脉冲串信号时差差分解频差模糊

由频差估计理论界可以知道，频差估计精度受信号持续时间影响很大。对于雷达信号，脉宽一般在微秒量级，利用持续时间较短的单个脉冲提取的频差精度较差，只有通过多个脉冲相参积累，才有可能获得较高的频差测量精度。然而，进行多脉冲积累时，单脉冲速度模糊函数将分裂成很多间距为PRF的周期模糊峰。从图5可以看出，对于LPRF信号，受噪声污染以后，在进行频差最大相关峰搜索时，极易搜索到模糊峰上，导致频差估计模糊。

对于星间间距为l的双星定位系统，双星时差取值范围为(-l/c,l/c)，当雷达信号PRI高于l/c，即PRF低于c/l时，时差估计不会出现模糊。当星间距为100 km时，无模糊时差估计要求PRF低于3000 Hz；当星间距为70 km时，无模糊时差估计要求PRF低于4286 Hz。对于大部分预警雷达，信号PRF较低，利用低轨双星接收时，不会出现时差模糊。针对LPRF相参脉冲串信号，本文提出了一种基于时差差分解频差模糊的方法。目前工程上的时差测量精度一般在50 ns以内[8]，利用这个精度下的无模糊时差值进行差分计算可以获得无模糊的频差粗估值，这就消除了模糊，然后再进行高分辨的插值搜索频域相关峰，得到高精度的频差精估值。

1) 基本原理

时差方程式(1)等号两边对时间求导，可得

(13)

代入式(2)，有

(14)

式(14)表明，频差可由时差求导获得。然而，在实际工作中，只能得到时差在离散时间点上的估计值，可以通过差分结果反映离散测量值之间的变化关系，利用差分运算近似微分求导。根据偏导数的中心差分公式，有

(15)

(16)

从式(16)可以看出，利用时差差分计算频差的精度与时差估计精度、辐射源信号载频以及时差测量步长有关。图7给出了不同时差估计精度与测量步长条件下，频差精度与信号载频的关系曲线。

图7表明，利用时差差分计算的频差精度与时差估计精度成正比，低频段的频差精度优于高频段的频差精度；除此之外，时差测量步长越长，频差精度越高。

1) 当时差估计精度为50 ns，测量步长为2 s时，信号载频在5 GHz以内的频差精度优于177 Hz。

2) 当时差估计精度为50 ns，测量步长为5 s时，信号载频在5 GHz以内的频差精度优于71 Hz。

于是，根据时差差分估计频差的误差公式，通过设置合理的差分步长，可以利用时差差分获得无模糊的频差粗估值。

综合以上分析，本文算法的基本思路是首先由式(6)的CAF进行时差/频差联合估计，得到高精度的时差估值，然后利用两个时刻的时差估值根据式(15)的差分公式计算频差粗估值，最后再在频差粗估值附近进行高分辨的插值搜索频域相关峰，得到高精度无模糊的频差精估值。图8给出了本文算法对PRF为300 Hz的LPRF信号进行频差估计，在不同信噪比下的模糊度曲线。

从图8可以看出，时差差分算法对LPRF信号进行频差估计时，无模糊频差估计的信噪比门限由直接采用CAF估计时的45 dB降低到了15 dB。

2) 算法步骤

需要注意的是，为了降低峰值计算和搜索的运算量，需要尽量减少数据点数，粗估计时搜索网格不能太小，同时为了保证参数估计的精度，搜索网格不能大于峰值宽度，避免将真实峰值疏漏。

根据脉冲串信号CAF的特性，脉冲串信号受噪声与分辨率的影响，频差粗估结果具有模糊性，造成频差精确估计时在模糊多普勒峰附近搜索，无法估计出频差真实值。

通过时差差分算法可以得到频差粗值，频差估计精度与时差估计精度、信号载频以及差分时间有关。在时差估计精度与信号载频一定时，可以通过调节差分时间控制频差估计精度。于是，可以通过时差差分获得无模糊的频差粗值，再在无模糊的多普勒峰附近进行高分辨搜索，得到高精度的频差估计值。具体步骤如图9所示。

(1)以较粗的网格二维搜索t1时刻两路信号CAF最大峰值，得到t1时刻两路信号的时差粗值与频差粗值。

(2)利用频差粗值对一路信号进行多普勒补偿，然后在时差粗值附近插值，得到时差精估值。

(3)对t2时刻两路信号进行步骤(1)与步骤(2)操作，获得相应的时差精值。

(4)由两个时刻的时差精值通过式(15)计算无模糊的频差粗值，并利用t2时刻的时差精值对t2时刻一路信号进行时延补偿，然后在无模糊的频差粗值附近插值，得到t2时刻的频差精估值。

4 试验校验

下面对本文算法的有效性与频差估计性能进行试验校验，仿真参数依据典型的应用场景设置：两颗低轨卫星同轨飞行，轨道高度为700 km，星间距为70 km，目标信号载频为500 MHz，PRF为300 Hz，PW为20 us。

1) 有效性校验

为了对上述算法的有效性进行校验，分别利用常规CAF算法、时差差分算法以及本文算法对目标信号进行多次频差估计试验。其中，脉冲积累个数为10，差分时间间隔为1 s，信号信噪比分别为15 dB，25 dB，35 dB。三种算法的频差估计误差如图11所示。

从图11可以看出，对于常规CAF时差/频差联合估计算法，由于PRF较低，频差估计模糊情况比较严重，频差估计误差较大，当信噪比为35 dB时，估计结果仍然具有模糊性；对于时差差分算法，频差估计误差在60 Hz以内，小于信号PRF，也就是说，时差差分算法估计出的频差没有出现模糊，估计误差随着信噪比的增加而减小；本文算法利用时差差分估计出频差粗值，然后在频差粗值附近插值精搜索得到频差精值，由于时差差分估出的频差粗值没有模糊，后面再在真实的多普勒峰附近进行精细估计，将会得到高精度的频差估计值。从图11(c)可以看出，当信噪比为15 dB时，频差估计误差在±0.15 Hz以内，根据3σ法则，频差估计精度优于50 mHz，并随着信噪比的增加而减小。

2) 性能分析

下面对三种算法在不同信噪比条件下的频差估计性能进行了200次Monte-Carlo仿真。

图12表明频差估计精度随着信噪比的增加而提高。对于常规CAF算法，当信噪比低于无模糊门限(由第3节可知，仿真信号的无模糊门限为45 dB)时，由于频差估计具有模糊性，频差估计误差远大于理论界；对于本文算法，当信噪比低于15 dB时，时差差分算法得出的频差粗值仍具有模糊性，此时估计误差偏高，当信噪比高于15 dB时，频差粗值不再具有模糊性，频差精估结果逼近克拉美劳下界。

5 结 论

本文针对LPRF相参脉冲串信号，提出了一种基于时差差分解频差模糊的方法，利用两个时刻的高精度时差估值进行时差差分计算频差粗估值，消除频差模糊，之后再在无模糊的频差粗估值附近进行高分辨的插值得到高精度的频差精估值。通过仿真表明，本文算法对于PRF高于300 Hz的相参脉冲串信号，在信噪比高于15 dB的条件下，频差估计不再出现模糊，估计精度优于50 mHz，这有利于拓展低轨双星时/频差定位体制对雷达信号的适用范围。