光纤模场直径测量的两段多项式函数拟合法

陶嘉庆，胡 越，项华中，涂建坤，郑 刚

(1.上海理工大学 上海介入医疗器械工程研究中心,上海 200093;2.上海电缆研究所,上海 200093)

光纤是具有细长圆柱状光波导结构，主要由纤芯、包层及涂覆层3部分组成[1]。单模光纤传输的光能量不仅在纤芯内，还有一部分分散在包层。所以单模光纤的传输特性不能简单地由纤芯直径表示。模场直径表示光纤基模(LP01模)中电场的分布情况[2]。通过模场直径，可以了解到光纤的部分重要特性，例如弯曲损耗[3]和色散特性[4]，并且根据模场直径随波长的变化谱还可推导出等效阶跃光纤的构成等重要参数[5]。

我国关于模场直径测量的现行标准[6]推荐了4种测量方法，分别是直接远场扫描法[7]、远场可变孔径法[8]、近场扫描法[9]和光时域反射计的双向后向散射法[10]。前3种方法都是基于Petermann第二定义得出的，在一定条件下可以相互转化。此外，文献[11]运用低相干度交互测量法测量光纤的模场直径。文献[12]用高阶高斯分布逼近光纤中高阶模电场分布。该方法可以测量出任意阶高阶模高斯光斑大小，进而得出与之对应的模场直径。本文采用上海电缆研究所生产的OFM光纤测量仪进行模场直径的测量。OFM光纤测量仪已在国内的几个光纤生产大厂使用，其利用远场可变孔径法测量模场直径[13]。一般情况下，可变孔径法所需的开孔数较多(20个孔径以上)，通过电机转动得到透过每个孔径的一组光功率值。由于该测量是机械转动，故整个测量过程需要一定的时间。本课题组通过使用单个多项式函数拟合光功率数据的方法，提高了仪器的重复测量稳定性[14]。考虑到光在光纤中的实际传播模式，本文使用两段多项式函数对测得的光功率数据进行拟合。在满足测量精度的前提下，本方法可较好地减少远场孔径法的有效孔径数，从而提升仪器的测量速度，降低生产成本，提高测量效率，满足光纤生产厂家在生产现场质控中的实际需求。

1 模场直径的测量和计算方法

OFM光纤测量仪测量光纤模场直径时，采用了远场可变孔径法，该方法原理如图1所示。

图1 远场可变孔径法测量原理图Figure 1. Measurement principle of far field variable aperture method

该仪器在一个圆盘上开有均匀分布的大小不同的20多个孔径光阑。光纤端面到圆盘的距离为D。设第i个孔的直径为2Xi，对应的远场半角为θ，光纤轴心与孔的圆心位于同一直线。测试时，仪器会自动控制每个孔旋转到与光纤轴心同轴的位置，同时测量通过该孔的远场光功率并记录。

根据国标[6]中规定的远场可变孔径法的测量原理，在Petermann第二定义[15]的基础上，定义模场直径的计算式为

(1)

式中，λ为波长，单位为纳米(nm)；x为孔径光阑半径，单位为毫米(mm)；D的单位为毫米(mm)；α(x)为归一化光功率。

经三角变换后，该式变为

(2)

(3)

由数值积分定义，式(2)可以用无限个小矩形来表示

(4)

则

(5)

只要精确测得远场光功率的数值，便可计算得到模场直径的值。

2 两段多项式函数拟合法测模场直径

2.1 两段多项式函数拟合的提出

单模光纤在大于截至波长时只传输基模LP01模，而基模场分布在纤芯取零阶贝塞尔函数，在包层取零阶修正的贝塞尔函数，故模场分布一般没有明确的分界线[16]。一般来说，纤芯中传递大约80%的光能量，其余20%的光能量在包层中传递[17]。纤芯中传递的能量用计算式表示为

P(θcore)=P(θmax)×80%

(6)

其中，P(θcore)为纤芯中的近似光功率；P(θmax)为光纤传递的全部光功率。

通过测量得到一组远场孔径角与归一化光功率之间关系的离散数据点，如图2所示。用与实测P(θcore)值相对应的第i个孔径作为光在纤芯和包层中传递的分段点，本实验中得到的分段点处远场孔径角近似为0.08 rad。

一般来说，拟合阶数越高，拟合曲线越能经过大多数据点，但曲线平滑性较差。而较低的拟合阶数下，曲线较为光滑，与高斯分布曲线较为接近，计算量也较小[18]，因此本文使用较低的拟合阶数拟合大部分点。在对这些数据进行多次不同阶次的多项式拟合实验后，得到经验拟合式如下所示

(7)

式中，a,b,c,…,k为多项式的系数。根据此式， 函数α(θ)在纤芯内用3阶多项式拟合，在包层中用5阶多项式拟合。

2.2 实验结果及分析

实验中用到的孔径数为20个，远场半角的范围为0.02～0.35 rad。对式(3)分析后，加入积分下限：当半角为0 rad时，归一化光功率α(θ)为1。实验中选用的光纤为G652单模光纤，OFM光纤测量仪测得的模场直径为9.20±0.02 μm。在测试波长数值为1 310 nm的条件下，共采集了5组远场光功率数据，利用式(7)进行分段拟合。

对其中的一组数据，其远场孔径角与归一化光功率之间的关系曲线如图2(a)所示。

(a)

(b)图2 G652光纤两段多项式函数拟合曲线(a)归一化光功率与远场孔径角关系曲线(b)被积函数与远场孔径角关系曲线Figure 2. Fitting curve of two-segments polynomial function of G652 optical fiber(a)Relation curve of normalized optical power and far field aperture angle(b)Relation curve of integrand function and far field aperture angle

用式(4)计算时，被积函数(α(θ)sin(2θ))与远场孔径角的关系如图2(b)所示。

根据式(2)，将式(7)代入可积分计算出模场直径的值WVAT。将其与OFM测量仪得到的模场直径WOFM对比，结果如表1所示。

表1 两段多项式拟合的测量结果

从表1可以看出，两段多项式函数拟合法的计算结果与仪器测量结果一致，并由最大偏差值可以看出两段多项式函数拟合法测量模场直径时有较好的重复测量(精度)稳定性。

2.3 测量数据误差及处理

实验过程中可能会出现由电机转动引起的孔径光阑圆心未能与光纤轴心位于同一直线的情况，导致透光光阑的光功率不能被完全接收，使得某1～2个孔的测量值与实际值有偏差。选某组测量有两个误差点的一组数据，拟合如图3所示。

图3 两个误差点时远场孔径角与归一化光功率的拟合曲线Figure 3. Fitting curve of far-field aperture angle and normalized optical power for two error points

从图3可以看出，误差点的存在影响了曲线的拟合，导致曲线向误差点偏移。此时得到WVAT=9.301 μm，与仪器测量值WOFM=9.20 μm差异较大。为了消除这两个误差点的影响，本文采用再次拟合的方法：在θ∈(0,0.08]范围内设置一个阈值常数k1，在θ∈(0.08,0.35]范围内设置一个阈值常数k2，若拟合曲线上的点与对应实测数据点之差的绝对值t小于k1或k2，则返回此点对应的坐标，将横坐标远场孔径角与纵坐标归一化光功率一起删除。再次拟合曲线如图4所示。

图4 删除误差点后远场孔径角与归一化光功率的拟合曲线Figure 4. Fitting curve of far-field aperture angle and normalized optical power after deletion of error points

运用式(2)～式(5)，得到模场直径为WVAT=9.205 μm，与实测值的误差仅为0.005 μm。由此结果可知当孔径数较多且存在测量误差时，可使用再次拟合的方法去除误差点，从而使计算结果更接近实际值。

3 测量孔径数的优化实验

通常，远场可变孔径法用到的测量孔数有20余个，而国际电信联盟电信标准分局发布的最新标准规定测量孔径至少为12个[19]。从理论上来说，孔径越密集，远场可变孔径角间隔越小，可更加精确地计算出被测单模光纤的模场直径。但孔径数过多会增加测试仪成本，导致测量效率下降。因此，需要选用较为合理的孔径光阑分布及数量，使其满足测量精度的要求，又可以提升测量效率。

3.1 孔径设置方法

实验中选取G652以及G655型(其模场直径为7.78±0.02 μm)的单模光纤两组各5根。在测试波长为1 310 nm时，每根测量1次共得到两组各5个数据。两段多项式函数拟合法运用于本实验时，为使方程有合理解，对应5阶多项式函数拟合，至少需要6个点；对应3阶多项式函数拟合，至少需要4个点。故拟合使用到的数据点数至少为10个。经多次拟合实验，在不改变OFM测量仪结构的基础上，选取下列孔径：选用于3阶函数拟合的为第1、3、7、8个孔；用于5阶函数拟合的为第8、10、12、16、18、19、20个孔。其中第8孔径为共用过渡孔，总共取10个孔径。

3.2 测试结果及分析

本文采用10个孔的测量值进行多项式拟合。对光纤G652和G655的某一根归一化光功率拟合曲线如图5(a)所示，被积函数曲线如图5(b)所示。图中的“*”和“○”为相应的采集数据，实线为3阶拟合，虚线为5阶拟合。

(a)

(b)图5 10孔拟合下两种光纤的光功率分布及被积函数曲线(a)归一化光功率与远场孔径角关系曲线(b)被积函数与远场孔径角关系曲线Figure 5. Optical power distribution and integral curves of two kinds of optical fibers with 10 holes fitting(a)Relation curve of normalized optical power and far field aperture angle(b)Relation curve of integrand function and far field aperture angle

从图5可以看出，两种光纤的拟合曲线均较为平滑，实验计算结果如表2和表3所示。

表2用10个孔拟合得到的模场直径及与OFM仪的测量值比较 (G652光纤)

表3 用10个孔拟合得到的模场直径及与OFM仪的测量值比较(G655光纤)

从表2和表3可看出，无论是G652还是G655光纤，用式(7)拟合后，计算结果重复性较好。尽管10孔实验的测量结果的最大偏差仍略大于仪器测量结果的偏差(仪器测量时仍采用20个孔径)，但该误差在允许范围内。因此，本文将基于远场可变孔径法测量光纤模场直径的两段多项式函数拟合法的最少孔径数设置为10个孔。

4 结束语

光纤的模场直径表示光纤光能量的集中程度。准确快速地测量模场直径对于光纤的生产具有重要的实际意义。由于光纤在纤芯和包层中模场分布存在不同，本文提出采用两段多项式函数拟合法用于(基于远场可变孔径法的)模场直径测量。实验结果表明，该方法在20孔测量模场直径时有很好的重复测量稳定性。在保证测量精度的前提下，使用本文所提方法可有效减少测量所需的孔径数至10孔，提升了仪器的测量效率。本文的不足之处在于未能确定纤芯和包层明确模场分界，没有从理论上推导出明确的分段点，这也是下一步的研究重点。