基于课堂观察的新教师MPCK 比较与提升——以“19.1.2 函数的图象（1）”同课异构为例

陈燕梅

（厦门第一中学，福建 厦门 361000）

一、MPCK 理论的含义与发展

影响教师专业成长的因素主要包括对学科知识的了解、对学生的认识以及教学策略的选择.［1］舒尔曼1986 年提出PCK 理论后，立即引起各国学者关注，他通过实践考察，发现PCK 最能区分学科专家与教学专家、高成效教师与低成效教师.［2］随着PCK 理论的拓展和推广，数学教师特有的学科教学知识从PCK 泛学科的研究中独立出来，形成MPCK（数学教学内容知识）理论，它包括数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK）.［3］

笔者参与厦门一中一次公开教研活动，初中数学三位入职未满一年的新教师（以下称为教师A、教师B、教师C）以“19.1.2 函数的图形（1）”同课异构.基于课堂观察研究他们的MPCK 水平状况，探索为促进教师专业发展学校需提供的系统支持.

二、基于课堂观察的MPCK 比较应用

《19.1.2 函数的图象（1）》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册，是第19 章“函数的图象”第1 节第2 课时的内容.本节课在已学的直角坐标系的基础上，以具体函数为例，学习能形象化地表示函数的重要工具，即函数的图象.学生通过具体实例了解图象的意义，经历画函数图象的过程，学会通过观察和分析函数图象获取信息.本节主要内容有三个部分，具体如下：

（一）了解图象意义，经历画图过程

1.教师A

课件展示生活中的三张函数图象，分别是：中国GDP 增长图、心电图、厦门一周天气变化图，让学生思考：

问题1：为什么我们喜欢用图象来展示变化，这样做的好处是什么？

问题2：这些图象是如何被绘制出来的？

问题3：正方形的面积S与边长x的函数解析式为___，其中自变x的取值范围____.

问题4：类比气温图的绘制，你觉得我们能画出这个函数的图象吗？若能，应该怎么做？

建立平面直角坐标系，把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

问题5：满足这个解析式的点有多少个？我们可能将这无数个点都描出来吗？实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.

2.教师B

有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如，用心电图表示心脏部位的图形（课件显示）.

问题1：正方形面积S与边长x之间的函数解析式是什么？

问题2：这里自变量的取值范围是什么？

问题3：列表：填写表格

注意：在画函数图象的过程中，将自变量作为横坐标，将函数值作为纵坐标；用空心圈表示不在曲线的点；用平滑曲线去连接画出的点；图象（解析式、列表法）只是函数的一种表示方法，应符合函数的定义.

3.教师C

问题1：同学们，今天我们学习函数的图象，看到这个标题你能想到什么？

追问1：说到图，我们来看一下这幅图，这是心电图，反映了生物电流与时间的关系.那么这幅图的自变量是什么？

追问2：如果你是医生，你能通过这幅图看出哪里波动大，哪里波动小吗？

问题2：对于已知解析式的函数，是否也能通过画图更加直观认识函数关系呢？

追问1：这个函数的自变量是什么？

追问2：对于这个函数，x可以取哪些值，能取-0.5吗？为什么呢？

追问3：自变量的取值范围是什么？

追问4：x能取0.5 吗？

追问5：x还能取哪些值？请同学们自己写出几个x 的值，并算出与之对应的函数值.

追问6：同学们，我们之前学习过什么知识和有序数对相关？

追问7：在坐标系中，这些是什么呢？

追问8：取多少个点合适呢？

追问9：这个图中，谁是自变量，谁是函数值？

评析：函数的图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系，是研究函数的重要工具.

从MK 上看，三位教师均能认识到函数图象的意义，教学中重视函数图象的直观特点，注意“把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标”，并画出函数图象，较为准确地把握本节的核心内容之一.然而，学习函数的图象不仅要了解它的一般意义和画法，更重要的是引导学生体会如何以数形结合研究问题，为后续基于图象研究函数的性质作下铺垫.在此环节，教师A 在函数解析式S=x2后，直接列表、描点和连线，并没有说明环节之间如何建立联系，为什么从解析式想到图象；教师B 和C 都通过有序数对将自变量和函数与平面直角坐标系中的点对应起来，让新知识的发生和发展过程更加自然而然.

从PK 上看，三位教师都精心设计层层递进的问题，努力启发学生思考，但个别问题的设置缺乏针对性，学生不知如何回答.如教师C 的“追问6：同学们，我们之前学习过什么知识和有序数对相关？”，与有序数对相关的知识非常多，学生不知从何回答起.在实际课堂中，三位教师给予学生思考的时间和思维空间有限，如教师B 在填表格时直接告诉学生“有序数对”，并非引导学生自己去发现.有时学生还未回答，教师就着急说出答案；或是当学生的答案未在教师的预设范围内时，教师并未尊重课堂生成进行有针对性地引导和启发.如教师C，当学生没有想到自变量和函数对应“有序数对”，却回答“坐标”时，教师并无理会，坚持按照预设的情形继续上课.

从CK 上看，学生在教师的引导下，经历列表、描点和连线，积极参与课堂学习，体验画函数图象的过程，感受图象的意义.

从TK 上看，三位教师均使用课件展示主要内容，特别是展示直观但难画的函数图象，明显提高了课堂效率.教师C 使用几何画板，随着列表数据量的增大，平面直角坐标系中显示的点逐步增多，不断增加、逐渐密集的点可直观地看出函数图象的构成过程，学生进一步理解函数图象，明确用平滑曲线连接的方法，让信息技术成为学生学习数学和解决问题的有力工具.

（二）观察函数图象，获取读图方法

三位教师的教学内容：

思考：图1 是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T 如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？

图1

评析：这个“思考”栏目是为学习通过图象分析函数的变化趋势而设计的，由图象分析数量的变化规律是研究问题的方法之一.这里的气温变化情况难以用确切的解析式表达，只能通过分析仪器自动绘制的气温变化曲线得到相关信息.

从MK 和PK 上看，三位教师均能解读此图象的信息，理解教材的意图，以此为载体渗透读图的方法.教师A 从最值、变化趋势和具体数值三方面指导学生看图，并进行方法小结，即“解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息”，同时归纳解题主要步骤：“一是理解横、纵坐标表示的意义；二是从表达式判定函数与自变量的关系；三是关注图象中端点、拐点等特殊点的实际意义.”教师B 根据教材中设置的问题逐一分析函数图象的信息.教师C 引导学生在识图和分析的过程中归纳出“最值、变化趋势、自变量与函数对应”三种常用的方法，特别是请学生上台，在所展示的图象中直接找到某一个点所对应的函数值，直观清晰.尽管如此，教学中有些内容的呈现并没有充分尊重学生现有的知识起点和认知规律，如教师B 关于“拐点”的说法并非初中阶段学生所了解的；教师C 没有解释何为“最值”，对于初学函数图象的学生而言，显然较为抽象.

从CK 上看，三位教师都明确学生在课堂上的主体作用，努力提高学生课堂参与的积极性和主动性.教师A 引导学生“和同桌说一说，你从图中得到什么信息？你一条我一条”；教师B 鼓励学生“和同桌PK一下”，并请学生站起来依次回答问题；教师C 组织学生“先独立思考2分钟，再小组合作交流3分钟”.学生在合作学习中进一步提高数学表达和与人交流沟通的能力，共享智慧.然而在课堂上，前两位教师没有给予学生独立思考的时间，学生容易受思维较自己敏捷的学生的影响，难以深度思考.教师C 虽分别设置独立思考和合作交流的时间，但固定的时间限制在实际教学中并没有根据现场情况灵活调整.

（三）解析函数图象，理解生活数学

如图2，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，根据图象回答下列问题：

图2

（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？

（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？

（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？

（4）小明读报用了多长时间？

（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？

评析：此函数的图象是由几条线段构成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.三位教师均以课本例题中的实际问题为素材，使学生感受到数学源于生活.

从MK 和PK 上看，三位教师均能很好地理解函数图象的实际意义，围绕着突破关键点引导学生进行分析.其中，教师A 和教师B 直接呈现背景知识，进而结合上一个教学环节中读图的方法引导学生分析；教师C 则先呈现无任何实际背景的图象，让学生巩固读图的方法，而后让学生看图讲小明的故事，并鼓励学生课后讲更丰富的故事.学生体会函数图象的生活实际意义，激活思维.三种不同的教学策略均能达到异曲同工之妙，但以实际为背景引导学生理解图象，应给予学生更充足的时间.

从CK 上看，学生能够主动运用新学的读图方法进行分析，理解不同时段图象的含义，对分段函数有初步认识.部分学生主动分享自己的想法，甚至以故事命题.学生可结合实际背景加深对图象意义的了解，然而多数学生的学习方式较为常规.

三、提升MPCK 的学校系统支持策略

（一）充分了解学情，创新评价优化MPCK

2020 年10 月，中共中央国务院印发《深化新时代教育评价改革总体方案》，指出坚决克服唯分数、唯升学、唯文凭、唯帽子的顽瘴痼疾，提高教育治理能力和水平.创新教育评价改革，需将对教师的教学评价从成绩导向转向关注教育教学的过程.教学过程的科学和有效建立在教师理解学生，对学生课前学情客观全面认识的基础上，教师能够清晰学生在学习本节课之前的知识储备和活动经验有哪些，在本节之后还会学习什么.在本次同课异构研讨中，出现教师A 让学生类比气温图的绘制画函数的图象，而事实上多数学生根本不会；也出现教师B 将上一节课函数定义相关的内容与本节新知“函数的图象”一起重新教学，体现新教师在对教学起点的认识上需进一步研究.理解教学起点，是每一位数学教师自身业务水平提高、教学过程科学有效的基础.学校在课堂教学评价或教学研讨中，可将其作为一项重要的指标，引导教师关注课前学情评价，真正做到理解学生，让学生在课堂上有更大的收获，在数学上获得更好的发展.

（二）认真研读教材，集体备课共享MPCK

教材是课堂教学之本，教师应精准理解教材，才能创造性地使用教材，挖掘教材中的教学资源和育人价值.《19.1.2 函数的图象（1）》这节课对于新教师而言，难点在于对教材的准确理解.在课前交谈中，几位新教师都表示备课过程中曾困惑“后续的新课中将会学习画图，本节中第一个教学环节要不要让学生画函数的图象？”，也曾困惑“怎样引导学生画图？”，还曾困惑“测温仪记录的图象这一环节教学重点在哪？”……因为困惑所以思考，因为纠结所以选择，这一切正是逐步深入教学研究的过程.日常教学研究的有效策略是集体备课。以集体备课促进青年教师专业成长，除学校需建立完善的集体备课制度外，还需教师将集体备课成为一种文化自觉，共享智慧，促进理解，减轻负担，合作共赢.

（三）教师通力合作，师徒带教发展MPCK

新教师是经过重重考核选拔的，素质高，能力强，精力旺盛.因教学经验不足而带来的影响往往是暂时的，有些新教师初登讲台后很快站稳讲台，如此影响基本不存在.厦门一中有许多青年教师在省市技能大赛、一师一优课、单元教学设计中获奖，青年教师的成长离不开老教师的用心带教，倾情奉献.本次同课异构的三位新教师课堂教学虽还不尽完美，但基本达成本节的教学目标；三位教师均能够在上课前提供给听课教师一份完整且规范的教学设计，这与入职以来师傅的带教和指导息息相关.学校对师徒带教应坚持落实相关的规章制度，积极推进政策支持，充分发挥师傅的榜样力量和指导力度，构建团队携手前行的校园文化.唯有师徒带教落地于平时的每一个教育教学环节，才能助力青年教师理解教学，真正提升他们的专业素养.

（四）利用校本培训，聚焦共性提升MPCK

在新课改背景下，教师需要系统化地学习，更新教学理念，创新教学策略.青年教师接收新理念新知识快，学校组织系统的校本培训，有利于教师更快、更全面地学习和内化，提升学科素养.本次同课异构的三位新教师在教学中都存在较为着急，难以就预设与生成的不同在课堂中妥善地处理等相关问题，这也是许多青年教师在教学中存在的困惑.学校相关部门可加强调研，针对日常教学困惑，聚焦共性问题，以专题的形式进行培训，切实提高校本教研的针对性和有效性.

每一次公开课，既是教师展示和挑战自我的机会，也是优化教师MPCK 的重要平台.基于课堂观察，新教师素质高、能力强，他们的MPCK 存在不足但发展的潜力很大.学校应落实系统支持策略，重视课前学情科学评价，发挥团队力量精心备课，传承与优化师徒带教制度，坚持有效的校本培训等.提升教师MPCK，是教师不断反思、自我追求和学校共同努力的结晶，最终构建师生和谐的魅力课堂.