解剖试题内涵 加强数学概念深度学习——从2020 年与2021 年福建中考函数压轴试题说起

李 霞

（1.福州教育研究院，福建 福州 350001；2.福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

数学概念有许多功能，可以作为对事物的描述或事物本质属性的说明；可以作为数学对象的划分；可以作为事实判断的依据.［1］一些特定的数学概念常常用数学语言（符号，图表）或物理客体来表示.在问题解决的策略与方法上，数学概念也成了问题解决的思维点，如果学习者能从概念的属性出发寻找问题解决所需要的方法，那么方法的应用范围就扩大了，这能使得概念性的知识促进了方法的灵活性.［2］因此有必要重视数学概念的深度学习.下文从终结性测评试题的问题解决思维点与困惑点入手谈数学概念深度学习的策略.

一、中考试题呈现

［案例1］（2021 年福建省中考试题第25 题）

已知直线l1：y=-2x+10 交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A,B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1≥x2≥5 时，总有y1＞y2.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=-2时，l2‖l1；

（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=-2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值.

（一）问题解决的思维点：

第一问，直线l1与y轴，x轴的交点坐标分别为A(0,10)，B(5,0)；BC=4，C在x轴上可以推出C(1,0)或(9,0)；当x1≥x2≥5 时，总有y1＞y2，得到抛物线的对称轴落在x≤5 处，推得C(1,0).所以抛物线的解析式为y=2x2-12x+10.该问题解决的思维点：会定义数轴上两点间距离；会从形式化的描述上读出函数的增减性.

对于第二问：

从方程与直线的视角，判定方程组的解，推得线的位置关系.

从平移视角，在直线l1上任取一点记为P(x0,-2x0+10)，将点P平移(n-10) 个单位到点Q(x0,-2x0+n)，则点Q一定在直线l2：y=-2x+n上，又因为n≠10，所以直线l2可由直线l1向上平移(n-10)个单位得到，从而得到l2‖l1.该方法基于初高中衔接的视角，尝试从集合的定义说明线是由满足条件的点组成.

从刻画几何位置关系视角：明白角是刻画两直线平行的工具，在图1、图2、图3 中，通过构造不同位置下的同位角或内错角相等来判定两直线位置关系.在构造的过程中，要明白图1 中证明所用的原理与图2及图3 不同.图1 是通过斜率求得l1与l2的倾斜角的正切值相等，再推得角等；图2 与图3 则是通过两个直角三角形的相似推得角等.

图1

图2

图3

图5

还可以在这两条线上找到4 个点（图4），说明围成的四边 形是平行四边形.如：A(0,10)，Q(1,8)，N(0,n)，P(1,n-2)且n≠10，推出AN‖QP，AN=QP，得到四边形ANPQ为平行四边形从而推得l2‖l1.

图4

对于第三问，思考如何将△ABE与△CEF的面积之和表示出来？两条平行线被第三、四条直线所截的图形之间寻找关联.如何关联，因为相似，可以用比值来刻画.

（二）问题解决的困惑点

表1 是某市近7 万考生解答该小题的成绩分布情况，满分14 分，近8 万考生平均分2.44 分，表2 为考生存在的问题情况分析.

表1 2020 年福建中考某市学生25 题成绩分布情况

表2 2020 年福建中考25 题学生主要失分及存在问题抽样情况

以上这些错误年年出现，本题虽然是整份卷子的压轴题，但第一问到第三问都在考查学生对概念或性质的理解与判断.如第一问对线段长定义及函数增减性质的判断，第二问则是对平移概念的判断，锐角三角函数的定义使用等，第三问考生要会把问题需要解决的方法联系到它所根据的相似三角形与函数等一些概念上：不会把面积（二维）的问题转化为边的比值（一维）问题解决.而比值之间表现出一定的关系，研究关系就是函数，函数离不开变量的选择.因此问题的落脚点还是变量与函数概念的理解.

［案例2］（2021 年福建省中考试题第25 题）

已知抛物线y=ax2=bx+c与x轴只有一个公共点.

（1）若抛物线过点P(0,1)，求a+b的最小值；

（2）已知点P1(-2,1)，P2(2,-1)，P3(2,1)中恰有两点在抛物线上，求抛物线的解析式.

问题解决的思维点：

对2021 年的函数压轴题，笔者只取前面两问来说明试题的考查情况，第一问除了从数的角度来理解外，也可以从形的角度来思考，由于抛物线与x轴只有一个公共点，结合抛物线过点P，得到抛物线的开口向上，且对于任意的x，都有y≥0，即ax2+bx+1≥0，所以取x=1 时，a+b≥-1，当a+b=-1 时，a+b=b+，解得a=1，b=-2，所以当a=1，b=-1，时，a+b取最小值－1.

对于第二问，由于函数是单值对应，（2，-1）与(2,1)只能取1 个.又因为抛物线上的点只能落在x轴的同侧，所以抛物线上的点只能是（2，-1）与(2,1).又因为P1(-2,1)，P3(2,1)的纵坐标相同，所以抛物线的对称轴为x=0，即b=0，结合b2=4ac，得出ac=0.由于a≠0，所以c=0.设抛物线的解析式为y=ax2，把点P1(-2,1)代入，可得，所以抛物线的解析式为y=.

试题关注概念本质的考核，第一问关注到任意性的理解，对于x的每一个确定的值，y都满足大于或等于0；第二问关注函数概念中的单值对应来判定点是否满足条件.

试题仅仅是从函数概念的角度来考察，但我们发现学生得分率不高，第一问的难度系数0.32，第二问的难度系数0.20.

据笔者所做的统计分析，历年来的中考压轴试题的作答，均因为某些概念或性质理解的偏差，或考生不懂得将问题需要解决的方法联系到它所既定的概念上，导致压轴试题最后一问解决困难.究其原因，这可能与教师平时关注解题教学，淡化概念教学有关，一些概念没有从本源上启发学生理解.

同时笔者在教研过程中发现：教师对概念教学的理解经常存在以下困惑：①让数学“趣味化”，认为数学是抽象的枯燥的，想着概念课要从激发兴趣入手，使学生觉得数学不再是抽象的.这种教学方法的指导依据是想通过激发兴趣让数学不再抽象，认为数学枯燥等同于数学抽象；②让学生“主体化”，认为概念的生成一般是采取探究与合作的方式.这种教学设计的出发点是关注教学模式，为了体现学生的主体，将数学参与等同于数学理解.③让数学“生活化”，只是从直观、表象的层面讲授数学概念，淡化对概念本质的生成、抽象与理解，淡化概念体系的构建，认为数学直观等同于数学本质.

因此从教师对概念教学的处理方式，可以看到无论从意识和实践的层面，数学概念的深度学习都有深入研究的必要.

二、数学概念深度学习的意义

《辞海》载：概念为心理学名词，指的是同类多数事物之诸项知觉所构成之普通观念，概念之构成，含有比较、抽析、判断、综合诸作用［3］.这里的“比较、抽析、判断、综合”的过程就是深度学习的过程.数学学科在某种程度上比其他任何学科涉及的概念都多，由于数学知识的体系性和联系性，概念的掌握也是后续问题解决的基础.因此数学概念应该成为数学教学的核心.章士藻认为数学概念是人脑对现实关系及其本质属性在思维中的一种反映，这种反映（形成数学概念）是一种理性思维的过程［4］.而深度学习的最终目标就是形成理性思维.按照布卢姆教育目标理论，深度学习即深层学习，为深层理解与创新运用，涉及的是高阶思维活动.因此做好数学概念的深度学习能够发展学生的高阶思维.

三、数学概念深度学习的策略

（一）关注概念理解的层次水平

深度学习要基于教师对教学的理解与设计，对一个概念的理解，英国的皮里和加拿大的基伦从认知的观点将理解分成内外层八个水平：初步了解—产生表象—形成表象—关注性质—形式化—观察评述—组织结构—发明创造，其中初步了解为最内层的圆，发明创造为包含前面的最外层的圆，这一过程不是单项的活动，是一个动态、建构的过程.这八个水平只是内外层的位置，不体现水平的高低.［5］如高中对函数的概念是从“对应说”的角度进一步理解函数的定义，要求要掌握对应，体会用符号对函数进行形式化的描述，能形成函数对象.其中对应法则f的了解对高一学生来说可以是最内层的“初步了解”的水平.但对初中学生来说这已经是前四五层水平形成下的水平（“形式化”）.因为在初中阶段函数的定义是从“变量说”的角度加以界定的.［6］并且刻画这种变化关系的三种形式（列表法、图象法与解析式）都是一种直观层现.特别是对应法则的理解只是函数概念学习的第一次简单抽象；而高中f(x)的抽象与概括过程即为在初中基础上的第二次抽象，为了认识抽象符号f(x)，采用大量的初中学过的例子为依托，在抽象的过程中还要关注初中的函数的一些关键词，如“每一个变量”“唯一的变量”“对应”，让学生体会函数概念中所包含的重要信息，从而抽象出对应法则f.这就是函数不同时期学习显示出来的“理解水平”.

史宁中教授将抽象划分为有两个阶段：第一阶段是基于客体的抽象，从感性具体到理性具体，从辨别到概括，表现为用自然语言表达的直观描述；第二阶段是基于逻辑的抽象，从理性具体到理性一般，从概括到形式化完成符号表达.函数的概念就经历了第一次抽象（初中阶段）到第二次的抽象（高中阶段）.应该说第一次抽象更本质，它第一次“创造”了新的概念，第二次抽象只是从形式上解析了这些“创造”.这两个阶段很形象地说明了初高中对“函数”概念的理解水平层，也让我们明白八个水平的每一个水平都很重要，最内层的水平并不是最低的水平，只是人内部思维的心理行为过程.

（二）关注概念认知的理性思维

对概念要达到理性认识：首先能够说出概念是什么，能够知道它的起源，知道它与其他概念之间的关联；接着知道它有什么用途；接着是为什么可以这么做（元认知）.如初中阶段课标对《分式》章节技能学习的要求，就是会计算下面的三类题型：

为达成课标要求，教师在教学中会让学生熟练掌握以下操作方式：见分式乘除，母子（母为分母，子为分子）都化积，再约分；见分式加减，母化积，再通分；见结果是分式，母子再化积，再约分.学生只要具备对操作方式的熟练与分式运算程序的理解就能实现技能的掌握.这也是课标的最低要求.若从数学学科核心素养的视角看运算求解的能力要求：如案例2（2017年福建省中考）:先化简，再求值，这里就要求学生不仅要掌握陈述性知识（分式概念，分式的加减乘除，二次根式概念）及程序性知识（因式分解，通分，约分，二次根式运算的步骤）；接着要有认知的策略（如何进行因式分解，通分，约分等），最后是会监控每步运算、验算（元认知）.要求学习者从浅层理解与操作技能到深层理解与思辨明理，这一过程就要唤醒学习者主动思考、深度思考的能力.而形成这种能力要基于分式等相关概念知识与方法的深度理解.接着是对这些相关概念与方法的理性思辨.

（三）关注概念建构的本质属性

从“形成表象”到“关注性质”再到“发明创造”，其中要达到“发明创造”的水平必须基于概念结构性的本质理解.数学概念的理解有着多层次、多侧面、无止境的过程：要从宏观与微观层面上理解它：宏观上要把握数学概念的本质与教学价值.微观上要理解它的结构：清楚概念产生的背景与固着点；清楚概念的生长过程与阶段；清楚概念体系建构过程所用的方法等.

如从宏观的层面理解函数学习的价值：代数是研究数量关系和变化规律的.概念就是刻画两个量之间的变化关系.代数式的出现，渗透着字母表示数的思想，含有字母的代数运算是用符号进行刻画的；代数式的变换关注的是结构性的形式变换，思考的是抽象层面的内容；函数的学习价值在于发现式的结构特征（模型）.用代数方法解决问题，可以根据实际情景找到或者构造相应的代数模型，而函数就是这种单值对应关系的模型，这就是函数学习的价值.

具体的学习中，要从微观的层面全面的结构性的理解概念，如正比例与反比例函数概念的学习，可以联系六年级所学的正比例关系下的定义：因为路程与时间的比值一定，即速度（也就是路程与时间的商）不变，所以路程和时间成正比例.初一在正比例函数时候，将两个相关联的量，若一种量随着另一种量的变而变，但它们对应的两个数的比值（也就是商）一定，我们把这两种量的关系叫做正比例关系.通过两种学段对概念理解的对比与重构，表达虽然不同，但本质是一样的.不仅让学生清楚正比例函数的概念产生的现实背景；还清楚正比例函数概念与正比例关系概念的本质属性.