高中数学课堂发展建模素养的实践与思考

丘远青

（福州第一中学，福建 福州 350108）

数学建模是高中数学六大核心素养之一，与数学建模教学相关的改革成为数学教学改革的一个热点.高中阶段，通过数学建模活动可以将基础知识、基本技能、基本数学方法训练综合起来，达到以学生为本，促进学生的全面发展.课堂是提升学生核心素养的主阵地，在课堂教学中，如何发展学生数学建模素养是广大教师必须面对的问题.下面笔者谈谈高中课堂教学中发展数学建模素养的实践与思考.

一、从创设的课堂问题情境中培养建模兴趣

课堂教学中创设合适的问题情境，可以启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.数学概念和结论的形成，都是源于实际问题的需要，自然而然生成的.在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题是数学建模的主要过程之一，这是一个“用数学眼光观察世界”发现和提出问题的过程.数学建模核心素养的形成与发展与现实世界中的具体情境关系密切，教师要引导学生如何从实际问题情境中抽象出数学知识，让学生既经历数学抽象过程，又为数学建模积累数据分析经验，同时实际问题情境还能吸引学生参与课堂活动，体验数学化的乐趣，调动学习数学积极性.

［问题1］随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而B 地取消了景区门票，下表给出了A，B 两地景区2001 年至2015年的游客人次以及逐年增加量.比较两地景区游客人数的变化情况，你发现了怎么样的变化规律？（表略）

［问题2］当生物死亡后，它体内原有的碳14 含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物碳14 含量与死亡年数之间有怎么样的关系？［1］

教科书从这两个材料中抽象出指数函数的概念，发展学生数学抽象素养.在数据分析和抽象的过程中，问题1 景区B 中的数据规律并不容易发现.笔者在教学时仅以问题2 作为新课情境，引入指数函数概念，再对问题1 进行数据分析.借助EXCEL 表格，笔者让学生经历了数学建模的一些环节.首先根据数据作散点图，从散点的分布观察数据变化规律；其次添加趋势线，从学生学习的最近发展区出发，对比一次函数（图略）、二次函数（图略）以及指数函数（图1）三种趋势线的契合度，让学生直观感知和对比三种模型的优劣，尝试选择确定数学模型；最后，在趋势线中添上相关系数平方，学习数学模型优劣的一种检验方法.笔者这样使用情境材料，不仅让学生感受到数学来源于生活以及信息技术应用，发展了学生数学抽象素养，而且还让学生经历了建立函数模型解决问题的数学建模的部分过程:作散点图—寻找函数模型—求解函数模型—检验.

图1

教师在课堂教学中要结合问题实际情境，让学生经历设计、提出解决具体问题的方案并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程.教师还应充分理解创设情境所选情境的意图，提出富有数学含金量的问题，引导学生开展数学探究、数学建模活动，突破教材重点、难点，激发学生学习兴趣、渗透能力培养，进而有效发展数学核心素养.

二、从精选的课堂例题教学中提升建模能力

例题是实现素养培养的载体，高中数学课堂教学离不开例题的分析解答，数学例题所涉及的问题主要有纯粹的数学问题和运用性数学问题.

1.从纯粹的数学问题中发展模型化解题策略

数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.抽象是数学的本质特征，课堂教学中接触到的大部分是现实问题经过数学抽象后的纯粹数学问题，解答这类问题的方法之一就是模型化.

2021 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1数学第22 题摘选：

［问题3］已知函数f(x)=x(1-lnx)，设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b.

2.从数学运用问题中经历数学建模过程

数学运用问题的解答过程应加强将运用问题转化为数学问题的数学抽象过程，应注重引导学生从现实背景的分析中归纳、提炼数量关系、空间形式的数学表达并得出模型的过程，这是一个“用数学的思维思考世界”的过程.

［问题4］某公司为了实现1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的激励方案：在销售利润达到10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金不超过5 万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？［1］

问题4 是一个具有实际意义的有确定性结果，从多个函数模型中选择最优解的问题.在管理和经济问题中，常选择像7 这样非e和10 的数为底的对数函数来刻画.教学时须引导学生分析实际情况，通过对比三个函数增长的差异，根据函数性质选择合适的函数模型，加深函数模型的认识.具体到该问题的解答过程，首先通过文字、符号和图象的转化将其数学化，培养学生运用函数观点分析问题的意识，提升数学抽象素养；其次借助信息技术进行图象拟合，让学生体验信息技术在数学建模上的运用；再次，在数据分析过程中，从定性到定量，从数到形，再从形到数，让学生经历数学建模数据处理的一般过程；最后，函数模型的确定也要让学生经历模型的选取、检验和确定过程.

加强数学与现实联系，关注习题的实践性与可操作性是课程改革的一个基本理念，也是数学教材的一个基本方向.教材增加了大量具有实际背景的题目，目的在于让学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学运用意识，提高建模能力.教师应注重通过数学运用问题为学生提供经历某些数学建模环节的机会，从而使数学建模得到连续发展.

3.从开放性问题中拓展数学建模的思维

问题4 在课堂教学中还可以进一步地提出下面问题：

思考：你能否设计一个既符合公司要求，又更能激励销售人员积极性的函数模型？请说明理由.

该问题的答案不唯一，学生对“更能激励”理解的角度不同，所设计的模型则不同，如果仅改进题目中给出的模型，可以考虑把y=0.25x改为，y=1.002x变换该指数函数的底数，而函数y=log7x+1 可以变换常数1，也可以变换对数中的底数7 等等.这一问题的提出，一方面能让学生经历选择模型、检验结果、改进模型的建模过程，提升建模能力；另一方面，适时提出的开放性问题可以打破学生思维常规，变学生被动答题为主动参与，激励学生参与到问题的情景中去.

开放性问题倡导学生多角度、多视点、多层次、多途径、多方法解决问题，有利于张扬学生的个性，开拓学生的创造性思维，有助于学生探究能力和创新精神的培养.在开放性问题的解决过程中，学生可以通过信息的重组，获取解决问题的有效信息，并作出合理的假设和推断.数学建模的对象大都是应用题类，是开放性问题.在建模过程中，数学问题和形式多种多样，解决问题的方法具有开放性、新奇性、多样性.在教学中适当给出开放性问题，能有效拓展学生数学建模思维能力，也可以让学生能动地运用所学的数学知识解决具体问题，获得“四基”，提高“四能”.

三、从设计的课后作业中延伸建模教学

“双减”政策对作业的要求虽是针对义务教育阶段，但是提高作业的针对性、有效性，提高作业质量，避免大量机械重复刷题作业，减轻学生负担，也是高中作业的基本要求.作业是课堂教学的延伸，是学生再学习和再加工的一个过程，作业设计的出发点和落脚点不能仅仅只是为了巩固知识，更应该考虑如何促进学生数学思维能力的发展，提升数学学习的能力，发展数学核心素养.

［问题5］已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.［1］

问题5 所涉及的知识是常见的“糖水不等式”，教师在作业设计中，可以将问题作适当变式，通过纵向挖掘、横向延伸，可以达到更大地教育功能.比如，把问题改为“糖水加糖后变甜了，试用数学知识解释这一现象”.如此，学生需要引进字母把问题数学化，还要考虑糖是否全部溶解，以及确定不等式或者是函数模型解答等等，数学建模味显然充足了许多.此外，该问题还可以追问“生活中还有这个不等式代表含义的例子吗？”如果学生能逆向思维，找到“住宅采光问题”“斜坡的坡度问题”等实际背景，这无疑有助于学生数学建模思维能力的提升.高质量的变式作业能有效地摆脱题海的困扰，起到事半功倍的作用.

具有确定性模型及结果的问题所渗透的数学建模大部分仅是运用数学知识解决实际问题的部分环节，在正式进行数学建模前的数据收集、图表绘制等环节，以及建模完成后的检验修正环节都是必不可少的，这些比较完整的数学建模过程往往需要数学建模专题实践来达成.适时布置数学建模作业，可以引导学生在解题过程中有效开展自主探究性学习与合作性学习，变被动做题为主动研究，能有效激发学生学习的兴趣，对学生自主探究学习起到积极的作用，还能为学生良好的数学核心素养的培育起到奠定作用.

数学建模的实践作业不宜采用“讲练”模式，应采用选题、开题、做题、结题四个环节来推进数学建模活动.除需要给学生提供数学建模完整过程的体验外，还应指导学生如何从实际情境中用数学眼光发现和提出问题，通过分析问题、构建模型、求解结论、验证结论并改进模型等活动，最终解决实际问题.这四个环节中，尤为关键的是选题，选题取材要贴合实际，来源于真实问题，要符合教材内容水平，符合学生的认知水平.教师所设计的建模问题作业，应适合普通高中学生的问题探究水平，同时可以添加少数有难度的问题供更有兴趣的同学探究，还要鼓励学生自己提出选题，教师加以指导，只有学生自己能提出一定质量的选题，才是真正地形成了用数学眼光观察世界的能力.

总之，数学建模素养是一种综合素养，数学建模活动是一种综合实践活动.教师在课堂教学中应该把握教材的实践性、应用性，注重将数学内容与实际生活相结合，加强数学研究对象的抽象过程，加强实际背景的数学化过程，加强数学知识的运用环节，不断引导学生借助数学知识，从实际问题中发现问题、分析问题并解决问题.