考虑预防策略的带干扰的比例再保险复合Poisson-Geometric风险模型
2021-11-11王传玉
陈 哲，王传玉，周 瑾
(安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000)
对保险公司而言，寻求可以降低风险的策略是非常重要的。保险公司有许多管理和优化其风险的策略，包括再保险、投资和股息等。1972年，Becher等提出将风险策略分成两种类型：自我保护和自我保险。其中自我保险就相当于再保险，自我保护则是通过预防计划减少索赔频率，也就是预防策略。Gauchon R研究了经典风险模型的最优预防策略，保险人可以投资于一个预防策略以降低索赔次数，并给出了使破产概率最小的最优预防量的具体表达式，证明了最优预防量可以让调节系数和期望红利最大化。
在保险公司的实际经营中会出现一些使保险资产价值出现波动的随机因素，如通货膨胀或投资等。针对这种情况，Gerber H U首次提出了带干扰的经典风险模型，用干扰项表示保险公司在日常经营中的不确定支出和收入，给出了调节系数方程并解释了调整系数的作用，推导了有限时间破产概率满足的更新方程。Junhai Li研究了带干扰的二维风险模型。在索赔分布为重尾的情况下，运用鞅方法得到了无限时间破产概率的上界。在索赔分布为轻尾的情况下，得到了有限时间破产概率的渐近表达式。
再保险是保险公司分散风险的比较有效的策略。再保险是保险公司为了减少自身承担的风险，用部分保费进行再次投保的保险行为。再保险可以降低保险公司所承担的风险，为经营活动的安全性提供保障。有学者对再保险进行了推广，Yanhong Chen通过最小化保险人损失和再保险人损失方差的凸组合，重新讨论了最优再保险问题。分析了一类满足分布不变性、风险负荷特性的再保险保费原则的最优解，推导了最优再保险契约的显式表达式。Malik M研究了具有分数次幂效用函数的保险公司最优再保险与投资问题。利用Hamilton-Jacobi-Bellman方程，确定了最优再保险投资策略和价值函数的显式表达式。
经典风险模型一般假设索赔计数过程服从Poisson过程。方差期望一致是Poisson过程的重要特征，但这一条件在现实中的保险运作里往往很难满足。另一方面，在经典风险模型中索赔事件一般等同于风险事件，即发生风险事件就一定会赔付。但出于成本或其他因素考虑，保险公司可能会推行无赔款折扣优待(NCD)制度和免赔额制度等赔付政策，这些政策使得投保人会在权衡利弊后再决定是否申请理赔，这会使实际理赔数往往小于事故发生数。毛泽春首次提出了复合Poisson-Geometric过程来描述这种情况，并用偏离参数ρ来表示事故发生数和实际理赔次数的偏离幅度，给出了复合Poisson-Geometric风险模型的有限时间破产概率的精确表达式。闫德志研究了带有再保险的复合Poisson-Geometric风险模型。利用鞅方法给出了该模型的盈余首达给定水平时间的期望和方差及有限时间破产概率的精确表达式。刘文震考虑了一类索赔计数过程服从广义Erlang(n)过程和复合Poisson-Geometric过程的相关双险种风险模型，利用Laplace变换得到了该模型折罚金函数的精确表达式。杨鹏研究了复合Poisson-Geometric风险模型下的再保险-投资策略问题，给出了时间一致的再保险-投资策略和值函数的最优解。并通过数值模拟，解释了模型参数对再保险-投资策略的影响。
相比于经典风险模型，复合Poisson-Geometric风险模型考虑到实际理赔次数与事故发生数不对等的情形，文献[8]用某保险公司汽车保险索赔次数的实际数据证明了现实情况中的偏离参数很难为0，因此在复合Poisson-Geometric风险模型下研究预防策略更加符合现实情况。研究在Romain Gauchon的结果上进行推广，将预防策略引入到带干扰的再保险复合Poisson-Geometric风险模型中，运用鞅方法，得到了该模型的破产概率的一般表达式。在索赔服从指数分布的情形下，给出了生存概率和使风险达到最小的最优预防量的精确表达式。最后，通过数值模拟研究相关参数对生存概率的影响，并给出相关解释。
1 模型建立
建立一个考虑预防策略的带干扰的比例再保险复合Poisson-Geometric风险模型。保险公司在时刻t
的盈余过程记为
(1)
式中，u
为初始盈余;α
为保险公司的分保比例,c
=αc
为支付的分保保费，h
(X
)=αX
为分出的索赔；该公司以每单位时间的费率c
收取保险费，并在每单位时间内投入固定数额的p
用于预防；{X
,i
=1,2,…}表示第i
次的索赔额，是非负的独立同分布随机变量，F
(X
)为分布函数，E
(X
)=μ
为索赔期望；N
(t
)为服从参数λ
(p
)、ρ
的Poisson-Geometric过程的索赔计数过程，其中ρ
为偏离参数;B
(t
)是一个标准的布朗过程，表示保险资产价值的随机波动;β
是一个正值常数，表示扩散强度。
(2)
假设λ
(p
)是定义在[0，c
]上的一个递减的严格凸的二阶连续函数。关于λ
(p
)有3个假设：①如果λ
(p
)可以等于零，它将允许一些套利机会。②减少λ
(p
)意味着预防可以降低索赔计数过程的强度。③假设λ
(p
)严格凸意味着预防费用越高，索赔频率的额外减少就越小。
接下来要求解索赔服从指数分布的情况下该模型的调节系数和生存概率的精确表达式，进而推出模型的最优预防量。
2 定理推导
引理
113设{Y
(t
),t
≥0}是零初值的齐次独立增量过程。记X
(t
)=X
(0)e
()，X
(0)为一常数，若E
[e
(1)]=1，则{X
(t
),t
≥0}为一鞅。引理
2对于盈利过程{
S
(t
),t
≥0}，存在函数g
[r
(p
)]使得E
[e
-()()]=e
[()]。证明
(3)
所以
(4)
λ
(p
)(1-α
)=0。(5)
该方程有3个解:0<r
(p
)<r
(p
)，r
=0为其平凡解，其中,r
(p
)=
(6)
r
(p
)=
(7)
r
(p
)=
(8)
定理
1令
X
(t
)=e
-()()=X
(0)e
-()()，其中X
(0)=e
-()，则{X
(t
);t
≥0}为一鞅。证明
令Y
(t
)=-r
(p
)S
(t
)，t
≥0,则{Y
(t
);t
≥0}是零初值的齐次独立增量过程，且E
(e
(1))=E
(e
-()(1))=e
[()]=1，根据引理1得{X
(t
);t
≥0}为一鞅。定理
2 盈余过程{U
(t
);t
≥0}的破产概率满足：
(9)
证明
T
是破产时刻，对任意常数t
，T
∧t
为有界停时，根据有界停时定理得e
-()=E
[X
(T
∧t
)]=E
[X
(0)]=E
[X
(T
∧t
)|T
≤t
]P
{T
≤t
}+E
[X
(T
∧t
)|T
>t
]P
{T
>t
}=E
[e
-()()|T
≤t
]P
{T
≤t
}+E
[e
-()()|T
>t
]P
{T
>t
}。(10)
令
(11)
因此有
E
[e
-()()|T
>t
]P
{T
>t
}=E
[e
-()()I
{0≤()≤()}|T
>t
]P
(T
>t
)+E
[e
-()()I
{()>()}|T
>t
]P
(T
>t
)。(12)
当T
>t
时，U
(t
)≥0，所以X
(t
)=e
-()()≤1。因此对于式(12)右边第一项，由切比雪夫不等式可得E
[e
-()()I
{0≤()≤()}|T
>t
]P
(T
>t
)≤E
[I
{0≤()≤()}|T
>t
]P
(T
>t
)≤
(13)
对于式(12)右边第二项有
E
[e
-()()I
{()>()}|T
>t
]P
(T
>t
)≤e
-()()。(14)
因此,当t
→+∞时，式(12)趋于零，有e
-()=E
[e
-()()|T
<+∞]P
{T
<+∞}。(15)
由此可知
(16)
推论
当索赔X
服从参数为θ
的指数分布时，破产概率为
(17)
接下来建立一个考虑预防策略的带干扰的比例再保险复合Poisson-Geometric风险模型。
3 最优预防量
β
θ
(1-ρ
)+2β
(1-α
)λ
(p
)≤2(c
-c
-p
)(1-α
)时，满足R
(0,0)>0，即
(18)
(19)
u
=0时的生存概率为
(20)
x
=β
θ
(1-α
)(1-ρ
)-2(c
-c
-p
)(1-α
)+2β
(1-α
)λ
(p
),(21)
x
=2(1-α
)[1+β
λ
(p
)]。(22)
有
(23)
(24)
因为λ
(p
)是递减严格凸函数，因此，当x
≤0时，即β
θ
(1-ρ
)+2β
(1-α
)λ
(p
)≤2(c
-c
-p
)(1-α
)时，R
(0,p
)≤0可以推出(x
)≤4(1-α
)x
，将该不等式带入R
(0,p
)可得R
(0,p
)<0，即当x
≤0时，对于所有p
∈R
，R
(0,p
)≤0意味着R
(0,p
)<0。接下来证明如果R
(0,0)≤0，那么对于所有的p
>0，一定有R
(0,p
)<0和R
(0,p
)<0。其中,R
(0,0)=0时，对于p
>0，当p
→0时，一定有R
(0,p
)<0。因此可以将条件限制在R
(0,0)<0以下。定义一个区间I
⊂R
，使得①0∈I
;②对于所有的p
∈I
,有R
(0,p
)≤0;③如果J
∈[a
,b
]⊂R
使得对于所有的p
∈J
，有0∈J
和R
(0,p
)≤0，那么J
⊂I
。如果I
=R
，此时可以证明期望的结果。否则意味着存在一个d
>0，使得I
=[0，d
]，因为R
(0,p
)连续，根据中值定理，有R
(0,d
)=0。根据区间I
定义，区间I
上R
(0,p
)为负，因此R
(0,p
)递减，由于R
(0,0)<0，所以有R
(0,d
)<0和R
(0,d
)<0，这与I
=[0，d
]时的结果R
(0,d
)=0相矛盾，所以必然有I
=R
。因此当x
<0时，若R
(0,0)≤0成立，那么R
(0,p
)是一个递减函数，则预防不能起到增加生存概率的作用，意味着该情况下不应该在预防上花钱。故有R
(0,0)>0成立，相当于条件
(25)
成立，则R
(0,p
)在0点的右边递增，这意味着预防降低风险。
(26)
(27)
(28)
(29)
这意味着破产概率
ψ
(u
,p
)=P
(U
(t
,p
)<0)=P
(U
(t
,p
)<0),(30)
(31)
由
(32)
4 数值模拟
图1 当u为0，10，15时的最优预防量
研究考虑了再保险，索赔计数过程为复合Poisson-Geometric过程，索赔服从指数分布等因素，下面将分析相关参数对生存概率的影响。首先用图示的方式说明u
的取值不会影响最优预防量，如图1所示。假设c
=10，偏离参数为0.
1，分保比例为0.
1，干扰扩散系数为10，λ
(p
)=3e
-，并且考虑索赔额呈参数为0.
5的指数分布。从图1可以看出，无论初始盈余u
取多少值，最优预防量总是相同的，并且生存概率随着预防量的增大先增大后减小。当不使用预防策略即预防量为0时，可以看到生存概率小于使用预防策略时的生存概率，因此预防策略在降低保险公司风险上是有效果的。然后，再固定预防量的取值，研究索赔参数，偏离参数，分保比例等指标对该模型下的生存概率的影响。设索赔计数过程N
(t
)的偏离参数为ρ
=0.
1，保费c
=10，干扰扩散系数β
=10，预防量p
=2，分保比例取值为α
=0.
1，索赔额X
服从参数为θ
的指数分布。分析生存概率随索赔参数θ
的变化趋势，通过MATLAB求解θ
不同取值下的调节系数r
(p
)和生存概率如表1所示。由表1可以看出，随着θ
的增大，意味着索赔额的均值在减小，总索赔额会随之递减，因此生存概率会增大。所以，确定索赔参数θ
的取值，对于保险公司保证生存概率有很重要的意义，这对保险公司的核保工作提出了更高的要求。
表1 索赔参数与生存概率关系
设索赔参数为θ
=0.
5，保费c
=10，干扰扩散系数β
=10，预防量p
=2，分保比例取值为α
=0.
1，研究不同的偏离参数对调节系数和生存概率的影响。偏离参数与生存概率关系如表2所示。从表2中可看出，当ρ
增大时，调节系数会相应减小，从而生存概率减小。这一结论对保险公司精算工作提出了要求：比如在制定赔付策略时，应该慎重评估赔付策略所带来的影响。并且应该采取相应的风险管理对策来应对偏离参数较大的情况，如提高初始准备金等。
表2 偏离参数与生存概率关系
设索赔参数为θ
=0.
5，保费c
=10，干扰扩散系数β
=0，预防量p
=0.
1，偏离参数为ρ
=0.
4，取不同的分保比例α
，当采取预防策略时，会从保费分出一部分作为预防量，因此分保比例无法取到1，运用MATLAB求解相应的调节系数和生存概率如表3所示。从表3中可以看出，随着分保比例α
的增大，对于保险公司相当于自留的风险会相应减少，调节系数随之变大，进而生存概率变大。
表3 分保比例与生存概率关系
5 结论
研究了一类带预防策略的再保险复合Poisson-Geometric风险模型，给出了在索赔服从指数分布时该模型的生存概率和最优预防量的精确表达式，并通过数值模拟研究再保险策略、索赔参数和偏离参数对生存概率的影响，并给出相关解释。研究的意义在于考虑了保险公司因采取一些赔付政策而导致的理赔次数与事故发生数不一致的情况下，采用预防策略、再保险策略对生存概率的影响，这对保险公司的风险管理可以提供一定的理论指导。更进一步的，还可以研究索赔计数过程服从Poisson-Geometric过程和Poisson过程的相关双险种风险模型下的最优预防策略，使其更符合现实情况。
