一道高三调考导数压轴题的解法探析*

福建省福清第一中学 (350300) 李云杰

福建省福清第三中学 (350315) 何 灯

试题呈现已知f(x)=ae2x+(2a-1)ex-x，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若x≥0，f(x)≥(3a-1)cosx恒成立，求实数a的去取值范围.

本题以常见的指数函数、幂函数、三角函数为素材，以不等式恒成立问题为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力，创新能力等，考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想等．

解法1：(1)当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞)，无递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(-∞,-ln2a)，递增区间为(-ln2a，+∞).(具体过程略)