关于函数零点之差不等式问题的探究

重庆市长寿中学校 (401220) 田 鹏

1 问题提出

如果一个函数有两个零点，这两个零点的差往往不能得到一个精确的值，尤其是在含参数的问题中，零点的差更难求出一个精确的值.因此，这类问题往往以不等式知识为载体，综合运用导数知识证明不等式问题.主要考查数形结合，转化与化归，分类与整合等数学思想.难度偏大，技巧性较强，抽象程度高，对直观想象，数学运算等数学素养要求较高.本文通过一些典型的例题说明这类问题的几种常见处理方法，以供读者参考.

2 数学模型

模型1 设函数y=f(x)，y=g(x)，若直线y=a与函数y=f(x)和y=g(x)分别交于点A(x1,y1)，B(x2,y1)，不妨设x1

模型2 设函数y=f(x)，若函数的两个零点满足x1∈(a,b)，x2∈(m,n)，则m-b

图1

模型3 如图1，函数y=f(x)的图象下凹，直线AD,BD是函数y=f(x)的两条切线，且切线AD,BD恒在函数y=f(x)的图象上方，线段AC,BC是函数y=f(x)的两条割线段，且割线段AC,BC恒在函数y=f(x)的图象下方.直线y=a与切线AD,BD分别交于E,F两点，与y=f(x)的图象分别交于M,N，与割线段AC,BC分别交于G,H.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，E(x3,y3)，F(x4,y4)，G(x5,y5)，H(x6,y6)，则x6-x5≤x2-x1≤x4-x3.该模型主要是通过切线放缩和割线放缩来解决，更一般地，可通过曲线进行放缩.若函数y=f(x)的图象上凹，也有类似的结论.

3 模型运用

例1 设函数f(x)=2x+3-a，g(x)=ln(2x)-a的零点分别为x1,x2，则|x2-x1|的最小值为.

评注：结合零点的定义，可构建方程f(x1)=0和g(x2)=0，从中可解出x1和x2，进而构造函数，特别注意其中的参数a的范围.另外，若f(x1)=0或g(x2)=0不可解时，注意变量的选取，此时往往将x1和x2其中一个作为变量来构造函数.

(1)设函数h(x)=(x-1)F(x)，当a=2时，证明：当x>1时，h(x)>0；

(2)若F(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

评注：此题难度较大，综合性强，思维灵活.主要考查利用导数来分析函数的图象与性质问题，利用零点存在定理来逼近函数的零点.其中将F(x)的零点转化为g(x)的零点这一步很关键，用零点存在定理可得x1∈(e-a,t1)，x2∈(t2,ea)，最后结合一元二次方程的韦达定理顺利得到证明.对这类问题，应深入分析不等式结构，通过直观想象，数据分析，找到问题的突破口，理清解题思路.

例3 已知函数f(x)=2sinx-x2+2πx-a.

(1)当a=0时，求f(x)在其零点处的切线方程；

图2

解：(1)当a=0时，f(x)有两个零点x=0和x=2π.f(x)在x=0的切线方程为y=(2+2π)x；f(x)在x=2π的切线方程为y=(2-2π)(x-2π)，过程略.

评注：函数f(x)的零点等价于函数g(x)=2sinx-x2+2πx的图象和直线y=a的交点，由(1)可得函数g(x)的两条切线.接着证明g(x)≤(2+2π)x和g(x)≤(2-2π)(x-2π)在定义域内恒成立，进而得到x2-x1≤x4-x3，而x3和x4可以解出来，问题得证.这类问题的关键是分析函数的图象特点(画出函数的大致草图)，寻找函数的两条切线，至于寻找函数的切线没有通法可言，常用的经验是根据不等式的结构，大胆猜测，小心求证，方能顺利解决问题.

例4 已知函数f(x)=xlnx-a(a∈R).

(1)讨论f(x)的零点个数；

(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2，且x1ae+1.

图3

(1)当a=1时，比较f(x)与x+1的大小；

解：(1)当a=1时，f(x)>x+1恒成立，过程略.

图4

4 一点说明

函数问题内容多，方法多，技巧多，本文着重从函数的零点之差的视角进行探究，很可能本文中的这些例题还有其他的方法解决，这一点留给读者去探索.另外，在学习和研究这类问题时，要注意以下几点，其一，注重基础知识的积累，勤于思考，勤于探究，多积累解题经验，不断提高学生分析问题，解决问题的能力.其二，建构常见的函数放缩模型，努力钻研典型试题，深度挖掘其背景知识，不断提高学生发现问题和提出问题的能力.其三，加强学生逻辑推理、数学运算等数学素养的培育.