浅析柱状微元模型在高考物理中的考查

2021-11-08黑龙江

教学考试(高考物理) 2021年5期

黑龙江刘玉高洋

微元思想是高中物理中非常重要的思想方法，在高中物理学习中，建立微元思想可以提升对物理概念的理解、提高解决物理问题的能力。近些年高考物理试题中出现的“微元法”问题主要一类为柱状微元模型，这类问题经常在动量定理、功率、电流微观表达式以及气体压强微观表达式中进行考查。

“微元法”的关键是通过取某一时刻某一小段(微元)作为研究对象进行研究，可以将变速问题变为极短时间内的匀速问题、恒速问题，体现了“化变为恒”的思想。由于流体模型(如水流、气流、粒子流等)具有连续性作用的特点，从整体上往往无从下手，这时我们就可以通过“微元法”处理。这里的“微元”主要体现在研究对象的选取：取很短时间Δt内的流体物质为研究对象，建立“柱状模型”，研究对象的质量均匀分布在横截面积为S，长为vΔt的柱体内，即Δm=ρSvΔt。

一、柱状微元模型在动量定理问题中的考查

【例1】(2019·北京卷·24)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。

(2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数；

a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；

b.图1中画出了半径为r1、r2(r1>r2)的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线，其中________(填“①”或“②”)对应半径为r1的雨滴；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v-t图线。

图1

(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2(提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0)。

【试题分析】(1)(2)略

(3)设在极短时间Δt内，空气分子与雨滴碰撞，空气分子的速率为u，

在Δt内，空气分子个数为：N=nSvΔt，其质量为：

Δm=Nm0

取向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：

F1Δt=Δm(v+u)-0

对圆盘上方空气分子由动量定理有：

-F2Δt=0-Δm(u-v)

圆盘受到的空气阻力为：f=F1-F2

联立解得：f=2Sv2nm0∝v2

【反思】本题的难点是求空气阻力的大小，而求空气阻力的关键是在很短的一段Δt时间内雨滴(圆盘)上方和下方空气柱的选取，部分学生在求解过程中无法正确选取研究对象来进行研究。需要注意的是雨滴运动过程中，上、下方空气均与其有相互作用，我们可以在任意位置取很短的一段Δt时间内雨滴上、下方各一段质量为Δm的空气柱来研究，其中Δm=Nm0，N=nSvΔt，再通过柱状微元的选取和动量定理的表达式就可以得出结果。

【变式1】(2020·海南高考真题)太空探测器常装配离子发动机，其基本原理是将被电离的原子从发动机尾部高速喷出，从而为探测器提供推力，若某探测器质量为490 kg，离子以30 km/s的速率(远大于探测器的飞行速率)向后喷出，流量为3.0×10-3g/s，则探测器获得的平均推力大小为

( )

A.1.47 N B.0.147 N C.0.09 N D.0.009 N

【试题分析】取Δt时间内从发动机尾部高速喷出的质量为Δm的离子为研究对象，Δm=3.0×10-3×10-3Δt；根据动量定理有FΔt=Δmv，解得F=0.09 N。

根据牛顿第三定律，探测器获得的平均推力大小为0.09 N，故选C。

对题干中“离子以30 km/s的速率(远大于探测器的飞行速率)向后喷出”的理解：认为30 km/s的速率是离子相对探测器的速度大小，而探测器的飞行速率在Δt时间内可以理解为不发生变化。

【变式2】(2019·全国卷Ⅰ·16)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为

( )

A.1.6×102kg B.1.6×103kg

C.1.6×105kg D.1.6×106kg

二、柱状微元模型在功率问题中的考查

【例2】(2018·海南卷·6)某大瀑布的平均水流量为5 900 m3/s，水的落差为50 m。已知水的密度为1.00×103kg/m3。在大瀑布水流下落过程中，重力做功的平均功率约为

( )

A.3×106W B.3×107W

C.3×108W D.3×109W

图2

【变式1】(2021·浙江高二期中)图3为嘉兴七一广场音乐喷泉喷出水柱的场景。喷泉喷出的最高水柱约50 m，喷管的直径约为10 cm，已知水的密度ρ=1×103kg/m3。据此估计喷管喷水的电动机的输出功率约为

图3

( )

A.6.5×104W B.1.3×105W

C.2.6×105W D.5.2×105W

【试题分析】喷泉喷水从喷泉口喷出的初速度为

在很短的一段Δt时间内喷泉口喷出水的质量为

根据动能定理，在Δt时间内电动机对水流做功

【反思】部分学生在处理此问题时得出不一样的结果，过程如下：

【变式2】图4用高压水枪喷出的强力水柱冲击右侧的煤层。设水柱直径为D，水流喷出速度为v。方向水平，水柱垂直煤层表面，水柱冲击煤层后水的速度为零。高压水枪的质量为M，手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度可忽略不计，已知水的密度为ρ，下列说法正确的是

图4

( )

A.高压水枪的流量为vπD2

D.手对高压水枪的作用力水平向右

三、柱状微元模型在电流微观表达式中的考查

【例3】(2020·北京卷·19)如图5所示，真空中有一长直细金属导线MN，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。

图5

(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：

A.在柱面和导线之间，只加恒定电压；

B.在柱面内，只加与MN平行的匀强磁场。

当电压为U0或磁感应强度为B0时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度v0。

(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图6所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。

图6

【试题分析】(1)略

图7

本题模型的建立需要选取单位时间内射到单位面积的金属片上的电子来研究，根据电流的比值定义式得到电流的微观表达式，同时应用柱状微元动量定理表达式。

四、柱状微元模型在压强微观表达式问题中的考查

【例4】(2019·全国卷Ⅱ·33)如图8所示，1、2、3三个点代表某容器中一定量理想气体的三个不同状态，对应的温度分别是T1、T2、T3。用N1、N2、N3分别表示这三个状态下气体分子在单位时间内撞击容器壁上单位面积的次数，则N1________N2，T1________T3，N2________N3。(填“大于”“小于”或“等于”)

图8

【试题分析】本题可定量推导气体分子单位时间内撞击容器壁单位面积的次数N与压强p的关系式，就是定量推导气体压强微观表达式。

气体压强微观表达式的推导：取正方体密闭容器(容器内有大量运动气体分子)，每个粒子质量为m，单位体积内气体分子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：气体分子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，气体分子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受气体分子压力F与m、n和v的关系。

设分子质量为m，平均速率为v，单位体积的分子数为n(分子数密度)；建立图9所示柱体模型，设柱体右侧面积为S，长为l，则l=vΔt，柱体体积V=Sl