基于数学极值条件下的物理情景、模型建构和临界问题的研究

2021-11-08四川邓贤彬刘剑琴

教学考试(高考物理) 2021年5期

四川邓贤彬刘剑琴

要想学好物理，不仅要加强对物理情景、物理模型的分析和理解，还离不开数学知识的强力支撑。高中物理中的极值问题对学生来说是学习中的难点，同时也是高考的重点和热点。如何有效的突破这一学生学习中的瓶颈，笔者试图通过本文加以研究，以飨读者，愿有所裨益。

学过物理的人都知道，听懂容易做题难。很多人都弄不明白原因究竟为何？笔者认为，出现这种现象的原因有如下几方面：一是学生对物理情景思考过少，不重视情景的理解和模型建构；其次是将物理和数学对立，不能将二者有机地融合；三是对题干中的关键词重视不够，特别是对隐含条件不能有效揭示和利用，不会将物理的临界问题和数学的极值条件整合考虑。本文试图以数学为基础，通过将物理问题结合物理规律建构成数学模型加以解决，在帮助学生解决问题的同时让学生更加深入的体会数学与物理的紧密联系。

1.一元二次函数

1.1 数学形式y=ax2+bx+c(a≠0，且b、c为常数)

1.2 物理情景与模型建构

1.2.1 匀减速直线运动

物理情景分析：因为物体速度越来越小，同时距离出发点也越来越远，所以当速度减为零时距离出发点距离最远。

模型建构：物体做匀减速直线运动

速度公式：v=v0-at①

由物理条件和公式①②可知

事实上，由于匀减速直线运动的物体其位移是关于时间的一元二次函数，利用数学知识和公式②可直接得出：

1.2.2 匀变速直线运动的追及问题

物理情景分析：两物体在同一直线上同向追及，客观上存在能否相遇的现实问题和追及中距离最大或者最小的极值问题，速度相等是追得上、追不上和刚好追上的临界条件，也是两物体相距最远或最近的极值取得的条件。

模型建构：假设匀变速直线运动的物体A追及同一直线上匀变速直线运动的物体B(同时出发，刚开始二者相距x0)：设经过t时间

由③式即可直接求出两物体距离最大值或者最小值。

1.2.3 闭合电路电源输出功率最大问题

物理情景分析：闭合电路的外电路为非纯电阻时，由闭合电路欧姆定律可知，电源输出的电压越大，输出电流越小，输出功率可能出现极值。

模型建构：P出=UI①

U=E-Ir②

由①和②得

由③式可知：

1.3 典例分析

【例1】物体以v0=30 m/s的初速度竖直向上抛出，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2。问：经过多长时间物体距抛出点最远？距抛出点最远距离是多少？

【解析】物体作竖直上抛运动，即为匀减速直线运动。

物理情景分析：以竖直向上为正方向v=v0+at，

即v=30-10t①

由①式知：当v=0时，即t=3 s时，物体距离抛出点最远，将t=3 s代入②式得xm=45 m

由上面公式②直接整理：x=-5(t-3)2+45

当t=3 s时，xm=45 m

【例2】一辆汽车在十字路口等红灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？(2)假设两物体一直保持运动性质不变，问汽车和自行车能相遇几次？

【解析】设经过时间t汽车和自行车之间的距离为x，则

当t=2 s时两车之间的距离有最大值Δxm，

且Δxm=6 m

解得t1=0(舍)，t2=4，所以两物体在t=4 s时相遇一次。

【例3】如图1所示，电源电动势E=12 V，内阻r=3 Ω，直流电动机内阻R1=1 Ω。调节R2时可以使如图电路输出功率最大且电动机刚好正常工作(额定输出功率为P0=2 W)，则R2的值是多少？

图1

2.三角函数

2.1 数学形式

y=asinθ+bcosθ(a、b均为不为零的常数)

2.2 物理情景分析与模型建构

力是矢量，其作用效果不仅取决于力的大小，还与力的方向有关，故在涉及有关力的计算问题时，需要定量表示力的大小和方向。实际问题中，在坐标系中定量处理力的问题时，方向通常用角度加以表达。因而在解决平衡问题时利用平衡条件可将力的大小转化为方向(角度)函数关系，那么生活中施力最小的实际问题，则可通过将力的最小值转化成三角函数的最大值加以解决。

2.3 典例分析

【例4】拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图2)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，如果沿拖杆方向拉动拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。问：拉拖把的力的至少为多大，角度θ为多少，才能使拖把头在地板上匀速后退？

图2

【解析】设该同学沿杆方向用大小为F的力拉拖把，将此力沿竖直方向和水平方向分解，根据平衡条件：

FN=mg-Fcosθ①

Fsinθ=f②

又f=μFN③

联立①②③式得

由④式知：

3.正弦定理

3.1 数学形式

三角形中，三角形三条边长和对角的正弦值存在如下关系：

3.2 物理情景分析和模型建构

图3

3.3 典例分析

【例5】如图4所示，小球用细绳系住，放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时(球位置不变，绳加长)，细绳上的拉力将

图4

( )

A.逐渐增大 B.逐渐减小

C.先增大后减小 D.先减小后增大

【解析】对小球进行受力分析，小球受重力G、斜面的支持力FN、细绳的拉力FT，因为G、FN、FT三力共点平衡，故三个力可以构成一个矢量三角形，画出某一定态如图5所示：

图5

根据题意知：θ不变，β从90°逐渐减小，α由锐角变直角再变钝角，sinα的值先增大后减小，结合③式可知：FT先减小后增大且FTmin=Gsinθ，故正确选项D。

4.数列

4.1 数学形式

等差数列an+2-an+1=d(d为常数且不为零，n=0，1，2，3，…)

4.2 物理情景分析和模型建构

(1)物体做匀速圆周运动或者简谐运动时具有周期性，其运动时间是关于周期的通项式；同样机械波传播时，空间上也存在一定周期性，其传播距离是波长的通项式，这类问题可以利用数列知识加以解决。

物体做匀速圆周运动或者简谐运动的时间

t=NT+Δt(N=0，1，2，3，…) ①

机械波沿波传播方向传播距离

x=Nλ+Δx(N=0，1，2，3，…) ②

由①和②式知，当N=0时，会出现极值。

(2)玻尔氢原子模型：

①轨道半径公式：rn=n2r1(n=1，2，3，…)，其中r1为基态半径，其数值为r1=0.53×10-10m；

(3)匀变速直线运动连续相邻相等时间的位移差：x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2(定值)

4.3 典例分析

【例6】两颗卫星A和B在同一轨道平面内围绕地球作同一方向上的圆周运动，其中A卫星的周期为TA，B卫星的周期为TB，且TA>TB。刚开始两卫星相距距离最近。问：至少需要多长时间，两卫星再一次相距最近？

图6

【例7】一列横波沿x轴正方向传播，在t1=0时刻的波形图如图7中实线所示，在t2=1.0 s时刻的波形图如图7中虚线所示。

图7

求：(1)写出这列波传播速度的表达式；(2)求此波传播速度的最小值。

【解析】方法一：平移法

波在t时间内传播的距离

x=Nλ+Δx=(8N+6) m(N=0，1，2，3…) ①

联立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：当N=0时，波的传播速度最小且最小值vmin=6 m/s。

方法二：振动法

取平衡位置为坐标原点的质点0为研究对象：t1=0时刻正在向y轴负方向振动；t2=1.0 s时刻质点振动到最高点，则有

联立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：当N=0时，波的传播速度最小且最小值vmin=6 m/s

5.均值不等式

5.1 数学形式

(1)若a+b=c(定值)，则当a=b时，(a×b)有最大值；

(2)若a×b=c(定值)，则当a=b时，(a+b)有最大值。

5.2 物理情景分析和模型建构

有的物理问题，可能会出现两个物体某个同类量之和为定值，需要判断别的量的大小和这两个量的乘积的关系；或者两个量的乘积为定值，需要判断别的量的大小和这两个量的和的关系。这种情形，往往要用到数学中均值不等式求极值问题。

(3)闭合电路电源输出功率和外电阻的关系

由上式可以得出

②当R>r时，电源的输出功率随R的增大而减小；

③当R

④P出与R的关系如图8所示。

图8

5.3 典例分析

【例8】月球上蕴藏着丰富的矿产资源。如果有一天人类能方便地在地、月间往返，便可以将月球上的矿物运送到地球上。假设地、月间的距离保持不变，随着月球上的矿物越来越多的运送到地球，那么月球和地球间的万有引力会如何变化？

【解析】设地球质量为M，月球质量为m，如果将月球上质量为m0的矿物运送到地球上。

运送矿物后月球和地球间万有引力

如何比较F和F′的大小，对学生而言是一个难点。由数学模型可知：因为月球和地球质量之和为一定值(这一点学生不容易想到)，即M+m=定值，所以当M=m时，(M×m)的值最大，即月球和地球间的万有引力最大。本来就有地球质量大于月球质量，即M>m，随着地球质量越来越大，月球质量越来越小，两者质量乘积应越来越小，即地球和月球间的万有引力应越来越小。

【例9】如图9所示，R1为定值电阻，R2为可变电阻，E为电源电动势，r为电源内电阻，以下说法中正确的是