高职数学中导数计算常见错题分析

黄惠玲

（福建船政交通职业学院通识教育学院 福建福州 350007）

导数是高职数学中很重要的部分，它具有承上启下的作用，对后面积分的学习具有很大的影响.笔者根据自己的实践教学经验，总结了导数计算中的几个易错点并加以分析[1]。

一、自创公式，乱用导数的运算规则

例1 求y=x2sinx的导数.

错解分析 该题解法错在(x2sinx)'=(x2)'(sinx)'这一步，这等式是不成立的，

是学生把导数的乘法运算法则错记为[u(x)·v(x)]'=u'(x)v'(x)，这是学生自创的公式.实际上，正确的公式是[u(x)·v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

正确解法y'=(x2sinx)'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.

二、基本求导公式掌握不扎实，从而导致出错

基本求导公式表是基本初等函数的求导公式，是学好导数计算的基础.万丈高楼平地起，如果基本求导公式掌握得不扎实，就会像没有打好地基的高楼一样容易坍塌[3]。

1.函数类型分辨不清导致出错

基本初等函数中的指数函数y=ax与幂函数y=xa的表达式较为相似，学生常常会混淆这两类函数，从而导致错误套用它们的求导公式。

例2 求y=3x的导数.

错解 由公式(ax)'=xax-1可得：y'=(3x)'=x·3x-1.

错解分析 此解法错误的原因是混淆指数函数与幂函数这两类函数，导致用错基本求导公式.此题是指数函数，但是却套用幂函数y=xa的求导公式.指数函数与幂函数的区别就是自变量的位置，如果自变量在指数的位置，那就是指数函数，如果自变量在底数的位置，那就是幂函数。

正确解法 由公式(ax)'=axlna可知，y'=(3x)'=3xln3.

学生会记错求导基本公式，主要原因在于他们都是死记硬背，知其然而不知其所以然的记忆公式，而不是通过理解公式，再去记忆公式.教师在教学过程中可以对以上几个学生常会出错的求导公式进行推导，学生通过理解求导公式的推导过程，自然而然就会对公式牢记在心。

三、忽略复合函数的分解，随心所欲自创复合函数求导公式

复合函数的求导是导数计算的重点和难点之一，它与基本初等函数及简单函数的求导不同，须先把复合函数分解成几个简单函数，然后再根据链式法则进行求导.复合函数的求导，学生常犯的错误有以下两种[4]。

1.简单地以为复合函数的求导与基本初等函数求导一样，从而导致把中间变量当成自变量进行求导，导致求导不完整。

例4 求y=(5x+4)4的导数.

错解y'=4(5x+4)3.

错解分析 此解法错误的原因是把复合函数当成基本初等函数进行求导，题目是要求yx'，而此解法是把中间变量u=5x+4当成自变量求导，变成求yu'，漏掉了5x+4对x求导这一层，显然是错误的.

正确解法 函数可分解为y=u3，u=5x+4则

y'=yu'·ux'=4u3·(5x+4)'=4u3·5=20(5x+4)3

2.简单地认为复合函数的导数是内外各层函数的导数的复合.在求复合函数的导数时，学生常常是把内外各层函数都换成各自的导数作为最后的结果。

例5 求y=sinx3的导数.

错解y'=cos3x2

错解分析 此解法错误的原因是自创复合函数求导方法，想当然的以为对各层函数进行求导就是所求的结果.

正确解法 函数可分解为y=sinu,u=x3，由链式法则可得

y'=yu'·ux'=cosu·(x3)'=cosu·3x2=3x2cosx3

复合函数求导中常犯的错误主要是以上两种，教师在教学过程中重点强调要分解，重视复合函数的分解，并让学生在练习过程中养成先分解的习惯.同时可把求导步骤归纳为：一分，二导，三连乘，以便于学生牢记心中，提高解题的正确率.

四、隐函数求导时没把含y的函数当作复合函数进行求导

隐函数求导是导数计算中最难、最容易出错的部分.在教学过程中我发觉学生大部分出错的地方是没有把关于y的函数当作是关于x的复合函数，即y是中间变量进行求导，从而导致出错[5]。

例6 求由y=x2y3=ex所确定的隐函数导数y'.

错解 方程两边对x求导得

y'+2xy3+3x2y2=ex

所以y'=ex-2xy3-3x2y2.

错解分析 此解法错误的原因是没有y3把当作是关于的复合函数进行求导，而是把它当作对y求导，不是对x求导，从而导致出错.

正确解法 方程两边对x求导得

y'+2xy3+3x2y2y'=ex

在隐函数中，遇到对含有y的函数求导时，要把y的函数当作关于x的复合函数进行求导，即先按基本初等函数的求导公式求导，再乘以y'。

总结学生在计算导数时常常出现的错误，其实只要学生真正理解基本求导公式的推导，熟练掌握复合函数的分解及链式法则，这些错误就可以避免.在教学过程中，教师要注重让学生参与求导公式的推导，只有让学生体验求导公式的推导，才能避免学生盲目接受和被动记忆这些公式，这样就可以减少学生出错的概率.另外，在课堂教学过程中，教师可以对学生容易出错的知识点采用“故意出错”的教学策略，来加深学生对知识点的理解，避免学生出现类似的错误。