从数量关系入手，巧解倍数、分数应用题

邢明明

[摘 要]机械地套用“万能公式”来解应用题无异于饮鸩止渴，那些根据汉语语法习惯提炼的数学公式，徒有其表，或许一时管用，一旦数量关系发生变化，就会黯然失色，毫无用处。因此，只有从数量关系上着手，才能找到统领各种应用题的锁链。

[关键词]倍数;分数;应用题;万能公式

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0094-02

读完《中小学数学》中刊载的一篇论文《我的“万能公式”》（登载于该刊2014年12期）后，笔者不禁掩卷而思，对作者的见解钦佩之余，也有自己的一些感触和不同看法。依笔者多年的教学实践经验来看，肖老师的“万能公式”确实能在短期内提升学生在某一知识区块的答题得分（特别是针对低年级的倍数问题更是药到病除），不仅如此，还能大幅提高课堂教学效率。许多同行也用过这种“偏方”，收到一些好的反响和令人满意的结果，但是到了高年级，该方法的弊端和危害开始显露，让人苦不堪言、悔不当初。倍数问题中已经深入人心的技巧——“知较小数求较大数用乘法计算，知较大数求较小数用除法计算”，到分数领域就不再灵验，学生用这个技巧做题屡屡犯错。

后来我校低、中、高年级教研组改弦易辙、另起炉灶，统一认识，从“分析数量关系”着眼，借助画线段图、摘抄关键条件等，助攻学生透视题意，彻底肃清“万能公式”不良影响。笔者发现这样做反而让学生对知识掌握得更牢固，理解得更精深，学生不仅对低年级所学的整倍数应用题的理解更上一层楼，解决高年级的分数应用题时也是手到擒来。笔者反思上述现象，查找原因如下。

一、“万能公式”有利有弊

还是以肖老师的例子来解析：1.A国有4架F-35隐形战斗机，B国F-35隐形战斗机的数量是A国的2倍，B国有多少架F-35隐形战斗机？2.A国有4架F-35隐形战斗机，是B国F-35隐形战斗机数量的2倍，B国有多少架F-35隐形战斗机？

肖老师对这类整倍数问题的解法做了总结，即“知较小数求较大数用乘法计算，知较大数求较小数用除法计算”，并进一步概括出“求‘是字前面的数量用乘法，求‘是字后面的数量用除法”。应用现成的公式，学生审题时就会将精力用在甄选公式上，用最省事的办法解决问题，这无疑削弱了学生对数量关系的理解，学生的理解力和分析力就得不到应有的锻炼，对于将来继续学习分数应用题也极为不利。再者，这种机械的断句拆字规律到了分数应用题就会失效。

例如，解分数应用题“某国进口300吨原油，使用了[13]，还剩下多少吨原油？”学生如果认为300吨量较大，余下的石油的量肯定偏小，就用“知较大数求较小数用除法计算”来列式求解，这就大错特错了，分析数量关系，列出的正确算式应是“300×（1- [13]）”，这与前面的规律不相符。

又如，解分数应用题“市政部门计划增建一条地铁线，已经修了[45]，还剩6千米没修，这条地铁线全长多少米？”。全长无疑是较大数，剩下的6千米必然是较小数，学生如果用“知较小数求较大数用乘法计算”这个技巧去解答，无疑又会出错，正确算式是“6÷（1- [45]）”。

以上两例告诉我们，以数的大小来选择列式方法，对低年级的倍数问题确实有效，学生在做题时屡试不爽，到了高年级却频频受挫，还会产生负迁移，从低年级的无往不利到高年级的无可奈何，学生渐渐地就会陷入困顿。套用所谓的“万能公式”，只不过是玩弄技巧，虽然短时间内可以取得好的卷面成绩，但是，却阻碍了学生思维的健康发展，让学生学会投机取巧，弊大于利。

二、抓住单位“1”才能融会贯通

要让学生把知识掌握牢靠，唯有追求根本，在分析数量关系上下功夫，现以倍数、分数应用题进行对照辨析。分数应用题是从倍数应用题演化而来的，换言之，倍数应用题是分数应用题的前身和灵魂，所以打通倍数、分数应用题的壁垒，构建通用解题结构模型，学生学起来才会轻松，应用时才能举一反三、一通百通。

1.从“求甲数是乙数的几倍”扩展到“求甲数是乙数的几分之几”

这两个问题可以归为一类，数量关系的对应方式一样，只是从“整数倍”拓展到“分数倍”，倍数既可以是整数也可以是分数。“几倍”与“几分之几”的说法不一样，但是本质都是表示一个数与另一个数的倍率关系，学生掌握了比较的方法，问题就变得简单了。乙是参照量，甲是相对量，用“甲数÷乙数”得出的都是比较后的倍率，只不过结果小于1（甲小于乙），就说几分之几，大于1（乙小于甲）就说几倍，换汤不换药。

2.从“求某数的几倍是多少”扩展到“求某数的几分之几是多少”“求比某数多（或少）几分之几的数是多少”

上述问题同样属于一类，用倍数来表述，就是“求几个几是多少”，用分数来表述，先要将参考量视为单位“1”，再来求这个单位“1”的几分之几的对应量是多少。这类问题一律可以运用乘法的基本意义来解答。

例如，对问题“超市进货200千克冷鲜肉，当天卖出[15]，当天卖出了多少千克？”，教师可引导学生抓住关键词“卖出”，让学生明白是卖出200千克的[15]。这里是将200千克的冷鲜肉总量视为单位“1”，根据分数乘法的意义，列式“200×[15]”。

又如，对问题“某煤矿4月份采煤60吨，5月份采煤量比4月份增长[16]，5月份采煤多少吨？”，同样可以抓住关键句“5月份采煤量比4月份增长[16]”，让学生明白是在4月份的基础上增长，将4月份采煤量看作单位“1”，5月份的采煤量就是在此基礎上多出它的[16]，列式为“60×（1+ [16]）”。可以看出，条件虽然变得复杂了，但数量关系依然清晰。

三、找准对应分率才能逆向思考

倍数应用题与分数应用题可以统一简略地理解为“把某数平均分成几份，求一份，用除法计算”。“已知某数的几分之几是多少，求某数”与“已知比某数多（少）几分之几的数是多少，求某数”问题，采取除法解题，注意找准已知量，并精准确定其“对应的分率”。

例如，对问题“国内某著名手机代工厂今年接收手机芯片加工订单720万份，比去年增加了，去年接收订单多少万份？”。此题中，“比去年增加了”可以转化为“是去年的（1+ ）倍”，即“720万份是去年的（1+ ）倍，求去年接收订单多少万份”。

由此例可知，解决分数应用题时逆转思路，就能切换成倍数应用题，分数应用题其实就是倍数应用题的扩充，转换的关键在于找准“对应的分率”，解题方法与倍数应用题有异曲同工之妙。

总之，应用题的教学，找准数量关系是关键，抓住这一根本，引导学生对比分析、类比归纳，把“各自为政”的应用题归为一统，使学生的思路更开阔，思维水平得到质的飞升。

（责编 杨偲培）