小学数学几何概念建模之实践探究

张宏

[摘 要]对学生来说，几何概念一般是比较抽象的，学生直接认识起来比较费力，因此对于几何概念的建模，一直是许多教师想着力解决的问题。教师总结出几何概念建模的几个注意点：一是要重视从具体到抽象的过程;二是要重视对几何概念本质的探究;三是要重视变式的运用。

[关键词]几何概念;建模;三角形的高

[中图分类号] G623.5[文献标識码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0076-02

在小学数学教学中，有关几何概念的教学是一个比较重要的内容。学生在学习时，对于几何概念往往把握不准。如何对几何概念进行建模，笔者做了很多尝试。就拿“认识三角形”这堂课来说，这是一节典型的几何概念教学课，课程要求学生认识三角形的基本特征、知道什么样的图形是三角形，并且认识三角形的高。对于“三角形的高”这一几何概念，不同的施教者采用的教学设计也不同，每一个设计在今后进行几何概念建模时都有一定的指导意义。下面笔者就以“认识三角形的高”教学为例，谈一谈在进行几何概念建模时应该注意的几个方面。

一、重视从具体到抽象的过程

概念一般都是比较抽象的，几何概念也不例外，学生直接认识起来比较费力，因此对几何概念的教学，教师需要通过具体事物引导学生去抽象、概括、认识。

例如，在“认识三角形”这一节课中对于“三角形的高”的认识，教学设计如下。

师：一些房屋的顶部是包含了三角形的“人字梁”结构，大家请看，从图中（图1）你能量出“人字梁”的高度吗？你量的是哪条线？

（单位：米）

生：量最中间的那条。

师：如果我只留下外面的三角形（图2），你还能量出它的高吗？怎么量的？（教师让学生在黑板上演示量法，演示完后，教师顺势讲解三角形的高的概念，并介绍三角形的高的画法）

对于初学者来说，“三角形的高”这个知识点要想真正理解是比较费力的，教师先是让学生找出能代表“人字梁”高度的那条高，紧接着将“人字梁”抽象为一个三角形，再让学生去找三角形的高，将找具体事物的高转变为找三角形的高。学生在“人字梁”的支撑下，通过脑海中建立的表象很顺利地找出三角形的高。

二、重视对几何概念本质的探究

对于“一个几何概念，为什么这样界定”的问题，学生不但要知其然，而且要知其所以然。对于几何概念“三角形的高”，如果学生只是认识了高和会作高，那还仅仅是停留在知识的表面。大家都知道，三角形的高是顶点到对边的垂直线段，虽然是简简单单的一句话，但是要想真正理解高，就需要知道三角形的高到底影响了三角形的什么特性，教师要让学生透过现象看本质，从而建构 “三角形的高”这一几何概念。

师：这两个三角形有什么不同（图3）？

生1：高度不同，左边的三角形个子矮，右边的三角形个子高。

（教师隐去左边的三角形）

师：你会量三角形的高吗？

（学生独立操作，教师请学生上台演示并总结量法）

师：其实测量三角形的高就跟测量人的身高类似，你能从下图中（图4）找到两者的共同点吗？

生2：都要站得直直的，而且要量最顶端。

教师先通过一高一矮两个三角形，让学生关注到两个三角形的不同点在于它们的高度不一样，这其实就是两个三角形底边上的高不同所引起的。接着教师让学生自己尝试测量三角形的高，由于学生脑海中已经初步有了对高的印象，自然会尝试着测量它的高，这个时候教师再适时纠正、总结方法，最后比较测量身高的方法与测量三角形的高的方法，找出两种测量方法的共同点，学生就能很自然地把握住三角形的高的本质特征：三角形的高其实就是顶点到对边的垂直线段。

三、变式的运用可以内化几何概念的建模

学生如何将学到的几何概念进行再加工，并内化为自己的知识，这需要教师采用多变的手段将几何概念进行深度加工。前面学生已经初步认识了三角形的高，但这是不够的，在认识三角形的高时，需要打破学生的思维定式，让学生体会三角形的高和底的对应关系，并且通过探索知道三角形高的条数，下面的三种设计通过不同的方法恰如其分地做到了这一点。

【设计一】

师：请同学们将下面这三个三角形底边上的高画出来（图5）。

师：大家都能很快地将三角形底边上的高画出来，这三个三角形有怎样的特点？

（学生一脸茫然，教师将三个三角形重叠得到图7后学生恍然大悟）

师：其实这三个三角形是同一个三角形。大家观察一下，发现了什么？

生：这个三角形一共有3条高，它的每一条边都可以作为底，并且每条底都有与它对应的高。

学生往往会形成思维定式：三角形的底只能是最下面的一条边，三角形的高一定是从上至下的。那怎样打破这种思维定式呢？只要通过旋转，让三个三角形合为一体，学生就会豁然开朗：原来刚刚画的高其实是同一个三角形不同边所对应的高啊！学生对三角形的高的认识得到完善。

【设计二】

师：请同学们分别将三个三角形底边上的高画出来（图8）。

学生给出以下答案（图9）。

师：从这些答案中，你们发现了什么？

生：这三个三角形都是一样的，但不同的底对应不同的高。

直接出示图8，底标在了同一个三角形中不同的边上，学生自然体会到三角形的每条边都可以作为底，在画出每条边对应的高后，将三个图形重合，让学生明白一个三角形有3条高。

【设计三】

师：请同学们画出以下三角形的高（图10）。

（学生给出如图11所示答案）

（教师将图11在视屏展示台上进行手动旋转，让学生观察）

师：通过观察，你们发现了什么？

生：底和高是对应的，底在动，高也在动。

这一设计，原先只标注了三角形最下面的一条边为底，让学生画高，在学生画完高后，通过旋转图形，让底转到不同的位置，学生体会到底不一定都是在最下面，进而理解三角形的三条边都可以作为底，对底和高的对应关系有了深刻的认识。

三种设计都是通过三角形的高的变式，让学生在变化中体会三角形的底和高的对应关系，并知晓一个三角形有3条高。由上可见，变式的运用对几何概念建模的重要性。

借鉴以上对“认识三角形的高”的不同设计和分析，在今后对于几何概念的建模中，笔者相信大家一定能有所收获。

（责编 黄 露）