关于丢番图方程(44n)x+(117n)y=(125n)z*

2021-11-04冉银霞

南宁师范大学学报(自然科学版) 2021年3期

关键词：正整数整数情形

冉银霞

(陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃成县 742500)

设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.对于任意的正整数n，丢番图方程

(na)x+(nb)y=(nc)z

(1)

本文主要运用奇偶分析法、简单同余法以及二次剩余理论等方法讨论(a,b,c)=(44,117,125)时，方程(1)的解的情况，得到了如下结论：

定理1 对任意的正整数n，丢番图方程

(44n)x+(117n)y=(125n)z

(2)

仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).

1 若干引理

引理1[3]设a,b,c满足a2+b2=c2.若z≥max{x,y}，则丢番图方程ax+by=cz仅有整数解(x,y,z)=(2,2,2).

引理2[21]如果方程(1)有解(x,y,z)≠(2,2,2)，则x,y,z各不相同.

引理3[22]设a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.若丢番图方程ax+by=cz仅有整数解，则方程(1)没有满足z

引理4[23，24]设a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2，且2|b.用d2b表示b中2的最高幂指数.若a,c≡±1(modb/2或d2b)，则丢番图方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).

引理5 丢番图方程

44x+117y=125z

(3)

仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).

证明因为44=22×11,117≡125≡1(mod 2)，所以由引理4知，44x+117y=125z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).

引理6 不定方程125z1-32y1=22x-1没有整数解.

证明对方程两边模 5得：-(-1)y1≡22x-1(mod 5),然而由2α模5是周期为4的序列，其余数为1，2，-1，-2知：22x-1≡±1(mod 5)是不可能的.因此，不定方程125z1-32y1=22x-1没有整数解.

引理7 不定方程125z1+32y1=2·11x没有整数解.

证明2y1模11是周期为10的序列，其余数为1，2，4，8，5，-1，-2，-4，-8，-5.所以，若2|y1,则2y1≡1,4,5,-2,-8(mod 11)；同样，22z1≡1,4,5,-2,-8(mod 11).对方程两边模11 得：22z1+(-2)y1≡0(mod 11),但当2|y1时，22z1+(-2)y1≡22z1+2y1≡0(mod 11)是不可能的；当2⫮y1时，22z1+(-2)y1≡22z1-2y1≡0(mod 11)显然也是不可能的.

因此，不定方程125z1+32y1=2·11x没有整数解.

2 定理1的证明

根据引理1,2,3和引理4，只需研究(2)在n≥2且min{x,y}

情形1x>z>y.此时方程(2)可化为

117y=nz-y(125z-44xnx-z).

(4)

由于z>y，故gcd(n,117)≠1.设n=32u13vn1,u+v≥1,gcd(n1,117)=1，则此时式(4)成为

32y13y=32u(z-y)13v(z-y)n1z-y(125z-44x32u(x-z)13v(x-z)n1x-z)，

(5)

由此可见n1=1.

情形1.1 若n=32u(u≥1)，则2y=2u(z-y).于是(5)可化为

44x32u(x-z)=125z-13y.

(6)

对式(6)取模11，有22z-2y≡0(mod 11)，得22z-y≡1(mod 11),于是有10|2z-y，从而y≡2z≡0(mod 2).对式(6)取模3，有0≡(-1)z-1(mod 3)，得z≡0(mod 2).故y与z均为偶数.

令y=2y1,z=2z1，则由式(6)得

22x11x32u(x-z)=(125z1-13y1)(125z1+13y1).

(7)

注意到gcd(125z1-13y1,125z1+13y1)=2，因此由4|125z1-13y1知，

22x-1|125z1-13y1.

若11|125z1-13y1，则22x-111x|125z1-13y1，但 22x-111x>22z1112z1=484z1>125z1-13y1不可能.所以此时方程(7)没有整数解.

若11|125z1+13y1,3|125z1+13y1,则

125z1-13y1=22x-1.

(8)

对式(8)取模3，得(-1)z1-1≡(-1)2x-1≡-1(mod 3),即(-1)z1≡0(mod 3),但这是不可能的.

若11|125z1+13y1,3|125z1-13y1,则

125z1+13y1=2·11x,125z1-13y1=22x-1·32u(x-z).

(9)

对(9)第一式取模11，得4z1+2y1≡0(mod 11),即2y1≡-4z1(mod 11),因此有

22z1-x≡-1(mod 11),2z1-x≡5(mod 10).

对(9)第二式取模3，得(-1)z1≡1(mod 3),故有2|z1.

对(9)第一式取模3，得(-1)x+1≡(-1)z1+1≡2≡-1(mod 3),于是x≡0(mod 2).但由2z1-x≡5(mod 10)知x为奇数，矛盾.因此式(9)不成立.

情形1.2 若n=13v(v≥1)，则y=v(z-y).于是(5)可化为

44x13v(x-z)=125z-32y.

(10)

对式(10)取模8，有5z-1≡0(mod 8)，得z≡0(mod 2)；对式(10)取模11，有4z≡(-2)y(mod 11).设z=2z1,则有42z1≡5z1≡(-2)y(mod 11).

2y模11是周期为10的序列，其余数为1，2，4，8，5，-1，-2，-4，-8，-5；5y模11是周期为5的序列，其余数为1，5，3，4，-2.

若2⫮y,则5z1≡(-2)y≡-2y≡-1,-4,-5,2,8(mod 11)，对比余数发现，这是不可能的.因此2|y.

令y=2y1,z=2z1，则式(10)变成了

22x·11x·13v(x-z)=(125z1-32y1)(125z1+32y1).

(11)

注意到gcd(125z1-32y1,125z1+32y1)=2，因此由4|125z1-32y1知，22x-1|125z1-32y1.若11|125z1-32y1，则22x-111x|125z1-32y1，但22x-111x>22z1112z1=484z1>125z1-32y1，所以此时方程(11)没有整数解.

若11|125z1+32y1,13|125z1+32y1，则

22x-1=125z1-32y1.

(12)

若11|125z1+32y1,13|125z1-32y1，则

125z1+32y1=2·11x.

(13)

根据引理6和引理7知,方程(12),(13)均没有解.

因此，方程(10)没有整数解.

情形1.3 若n=32u13v(u≥1，v≥1)，则y=u(z-y)=v(z-y).于是(5)可化为

11y13y=11u(z-y)13v(z-y)(145z-24x11u(x-z)13v(x-z)),

(14)

从而y=u(z-y)=v(z-y)，于是(14)可化为