一类双参数奇摄动方程非线性多点边值问题

刘燕, 杜冬青

( 1.安徽师范大学皖江学院 电子工程系, 安徽 芜湖 241000;2.徐州财经高等职业技术学校 基础部， 江苏 徐州 221000 )

0 引言

近年来,奇摄动边值问题的研究受到许多学者的关注,并得到许多研究成果[1-7]；但其中大部分的研究结果是关于两点或三点边值条件的奇摄动问题，而对于多点边值条件的奇摄动问题研究得较少.文献[8]的作者用Liouville - green变换得到了奇摄动二阶微分方程多点边值问题的渐近解；文献[9]的作者利用微分不等式理论和Leray - Schauder度理论研究了一类三阶微分方程的多点边值条件的奇摄动问题,并得到了问题解的存在唯一性和渐近估计结果；文献[10]的作者在文献[9]的研究基础上将线性多点边值条件推广到非线性多点边值条件,研究了带有非线性多点边值条件的三阶微分方程的奇摄动问题.但目前为止,对于含双参数带有非线性多点边值条件的三阶微分方程的奇摄动问题的研究尚未见有文献报道；为此,本文在文献[10]的研究基础上,考虑如下一类带有非线性多点边值条件的三阶微分方程的双参数奇摄动问题：

εx‴(t)+f(t,x(t),x′(t),μx″(t))=0, 0≤t≤1；

(1)

x(0)=0；

(2)

g(x′(0),x″(0),x(ξ1),x(ξ2),…,x(ξm -2))=A；

(3)

h(x′(1),x″(1),x(η1),x(η2),…,x(ηn -2))=B.

(4)

其中ε和μ均是正的小参数, 0<ξ1<ξ2<…<ξm -2<1, 0<η1<η2<…<ηn -2<1,A和B为常数.现作如下假设:

[H2] 问题(1)—(4)的退化问题f(t,X0,0,X′0,0,0)=0,X0,0(0)=0在t∈[0,1]上存在充分光滑的解X0,0=X0,0(t).

[H4] 由方程g(X′0,0(0),X″0,0(0)+U1,X0,0(ξ1),…,X0,0(ξm -2))=A可求出U1， 由方程h(X′0,0(1),X″0,0(1)+U2,X0,0(η1),…,X0,0(ηn -2))=B可求出U2.

1 外部解的构造

ξ2ηx‴(t)+f(t,x(t),x′(t),ξx″(t))=0.

(5)

设问题(1)—(4)的外部解的形式渐近式为

(6)

将式(6)代入式(5)可得：

f(t,X0,0,X′0,0,0)=0;

(7)

fx(t,X0,0,X′0,0,0)Xi,j+fy(t,X0,0,X′0,0,0)X′i,j=Fi,j(t),i+j≥1,

(8)

其中Fi,j(t)是由Xs,q,X′s,q,X″s,q,X‴s,q(s+q

2 边界层校正项

x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2W(τ1,ξ,η),

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

类似地,在t=1处构造边界层的校正项,并令

x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2η2Q(τ2,ξ,η),

(13)

(14)

(15)

(16)

为确定Xi,j(t),Wi,j(τ1),Qi,j(τ2)的定解条件,将x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2W(τ1,ξ,η)+ξ2η2Q(τ2,ξ,η)代入式(2)—(4)得：

Xi,j(0)=0,i<2;

(17)

Xi,j(0)=-Wi -2,j(0),i≥2;

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由此即可得问题(1)—(4)的N阶形式渐近解.

3 结果及其证明

定义1[11]若函数u(t),v(t)∈C3[0,1]满足

u‴(t)+f(t,u(t),u′(t),u″(t))≥0,

u(0)=0,

g(u′(0),u″(0),u(ξ1),u(ξ2),…,u(ξm -2))≤A,

h(u′(1),u″(1),u(η1),u(η2),…,u(ηn -2))≤B,

v‴(t)+f(t,v(t),v′(t),v″(t))≤0,

v(0)=0,

g(v′(0),v″(0),v(ξ1),v(ξ2),…,v(ξm -2))≥A,

h(v′(1),v″(1),v(η1),v(η2),…,v(ηn -2))≥B，

则称u(t)和v(t)分别是如下边值问题的下解和上解:

x‴(t)+f(t,x(t),x′(t),x″(t))=0, 0

(24)

x(0)=0;

(25)

g(x′(0),x″(0),x(ξ1),x(ξ2),…,x(ξm -2))=A;

(26)

h(x′(1),x″(1),x(η1),x(η2),…,x(ηn -2))=B.

(27)

引理1[11]若边值问题(24)—(27)满足如下条件:

(A1)存在下解u(t)和上解v(t)， 且当t∈[0,1]时，有u′(t)≤v′(t);

(A2)函数f(t,x,y,z)在[0,1]×[u(t),v(t)]×R2上连续且关于x递增,并且f(t,x,y,z)在[0,1]×[u(t),v(t)]×[u′(t),v′(t)]×R上满足Nagumo条件;

(A3)若函数g(x1,x2,…,xm)在Rm上连续,且关于x2,…,xm递减; 若函数h(y1,y2,…,yn)在Rn上连续,且关于y2递增,关于y3,…,yn递减：

则边值问题(24)—(27)至少存在一个解x(t)∈C3[0,1], 使得u(t)≤x(t)≤v(t),u′(t)≤x′(t)≤v′(t),t∈[0,1].

证明构造辅助函数u(t,ξ,η)=xN(t,ξ,η)-rtρN +1,v(t,ξ,η)=xN(t,ξ,η)+rtρN +1, 其中r为待定的充分大的正常数.由该函数显然可得：u(t,ξ,η)≤v(t,ξ,η),t∈[0,1];u′(t,ξ,η)≤v′(t,ξ,η),t∈[0,1];u(0,ξ,η)=v(0,ξ,η)=0.另外,由微分中值定理可知,存在正常数C1和C2, 使得：

g(u′(0,ξ,η),u″(0,ξ,η),u(ξ1,ξ,η),u(ξ2,ξ,η),…,u(ξm -2,ξ,η)≤

g(x′N(0,ξ,η),x″N(0,ξ,η),xN(ξ1,ξ,η),xN(ξ2,ξ,η),…,xN(ξm -2,ξ,η)-l1rρN +1≤

C1ρN +1-l1rρN +1=A+(C1-l1r)ρN +1,

h(u′(1,ξ,η),u″(1,ξ,η),u(η1,ξ,η),u(η2,ξ,η),…,u(ηn -2,ξ,η)≤

h(x′N(1,ξ,η),x″N(1,ξ,η),xN(η1,ξ,η),xN(η2,ξ,η),…,xN(ηn -2,ξ,η)-l2rρN +1≤

C2ρN +1-l2rρN +1=B+(C2-l2r)ρN +1.

g(u′(0,ξ,η),u″(0,ξ,η),u(ξ1,ξ,η),u(ξ2,ξ,η),…,u(ξm -2,ξ,η)≤A,

h(u′(1,ξ,η),u″(1,ξ,η),u(η1,ξ,η),u(η2,ξ,η),…,u(ηn -2,ξ,η)≤B.

g(v′(0,ξ,η),v″(0,ξ,η),v(ξ1,ξ,η),v(ξ2,ξ,η),…,v(ξm -2,ξ,η)≥A,

h(v′(1,ξ,η),v″(1,ξ,η),v(η1,ξ,η),v(η2,ξ,η),…,v(ηn -2,ξ,η)≥B.

下面证明:

εu‴(t,ξ,η)+f(t,u(t,ξ,η),u′(t,ξ,η),μu″(t,ξ,η))≥0, 0

εv‴(t,ξ,η)+f(t,v(t,ξ,η),v′(t,ξ,η),μv″(t,ξ,η))≤0, 0

εu‴(t,ξ,η)+f(t,u(t,ξ,η),u′(t,ξ,η),μu″(t,ξ,η))=εx‴N+f(t,xN,x′N,μx″N)-fx(t,θ0,θ1,μx″N)rtρN +1-fy(t,θ0,θ1,μx″N)rρN +1≥εx‴N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1, 其中θ0∈(u,xN),θ1∈(u′,x′N).当x∈[0,σ]时,由外部解和左边界层的构造可知,存在正常数C3和C4, 使得

εx‴N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥f(t,X0,0,X′0,0,0)+

C4ρN +1+l0rρN +1=(l0r-C3-C4)ρN +1.

类似地,当x∈[1-σ,1]时,由外部解和右边界层的构造可知，存在正常数C5, 使得

εx‴N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥(l0r-C3-C5)ρN +1.

当x∈[σ,1-σ]时,由Wi,j(τ1),Qi,j(τ2)的边界层性态可知,存在正常数C6, 使得

εx‴N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥

4 算例

考虑满足假设条件[H1]—[H4]的如下混合边值条件的三阶微分方程的奇摄动问题：

εx‴-μx″-2x′+x+t=0, 0

(28)

x(0)=0；

(29)

(30)

(31)